devoir de mathématique

décontracte-toi... les fractions c'est super facile. je regarde et je reviens.

petit rappel sur les fractions.

dans une fraction tu as en haut le numérateur et en bas le dénominateur.

quel est le sens de ces deux mots ?

le dénominateur c'est "en combien de parts je partage" un gateau par exemple. J'ai un gateau rond et je le coupe en 16 parts.

Le numérateur indique combien je vais prendre de parts de ce gateau coupé en 16 parts. J'en prends par exemple 4 parts.

j'écrirai donc que j'ai pris 4/16 du gateau.

est-ce que tu comprends ces explications.

Si oui, je continues avec toi ton travail. J'attends ta réponse.

je continue :

tu décomposes chaque nombre de la manière suivante, c'est une manière facile :

682 : 2 = 341
341 : 11 = 31
31 : 31 = 1


469 : 7 = 67
67 : 67 = 1

donc 682 = 2 X 11 X 31

et 469 = 7 X 67

tu compares les diviseurs de ces deux nombres. Ils n'ont aucun diviseurs qui leur soit commun, donc tu en conclus que 682 et 469 sont premiers entre eux.

Dis-moi si c'est un peu plus clair pour toi ! Je t'attends.

2)calculer le PGCD et PPCM de 682 et 496


je vois que le second nombre n'est plus le même.

Tu as déjà trouvé le PGCD de 682 (cf ci-dessus) :

682 : 2 = 341
341 : 11 = 31
31 : 31 = 1

496 : 2 = 248
248 : 2 = 124
124 : 2 = 62
62 : 2 = 31
31 : 31 = 1

diviseurs de 682 = 2 X 11 X 31
diviseurs de 496 = 2 X 2 X 2 X 2 X 31

tu compares les deus nombres.
Ils ont 2 diviseurs communs : 2 X 31 = 62

les deux nombres sont donc tous les deux divisibles par 62

Le PGCD est donc 62

le PPCM c'est autre chose. Tu prends tous les diviseurs qui sont le plus souvent représentés chez l'un ou l'autre nombre.

Le PPCM est ici : 2 X 2 X 2 X 2 X 11 X 31 = 5456

le PPCM de ces deux nombres est 5456

est-ce que tu comprends un peu ?

ATTENTION : vérifie bien les nombres que tu as écrit,

car en 1/ question tu écris 682 et 469 (tu es sûre que ce n'est pas 496 ???) parce que cela changerait tout.

en question 2, tu écris 682 et 496

et en question 3 ; 682 et 469

merci de me confirmer les nombres exacts car je ne veux pas t'induire en erreur. Je t'attends.

hou... hou... je ne voudrais pas parler dans le vide... car je te connsacre un peu de mon temps de repos... vite je t'attends pour continuer.

En Sixième, tu as sans doute déjà additionné, soustrait ou multiplié deux fractions. Il s'agissait alors de fractions sur 10, 100 ou 1000.
Le traitement que tu réservais à ces fractions décimales, nous allons l'étendre à toutes les autres. Et à la fin, nous les combinerons...



Additionner et soustraire deux fractions.
Ce premier
Comme nous allons le voir, additionner deux fractions revient à ajouter des parts de gâteaux.
Pour bien comprendre et analyser le phénomène, nous allons devoir envisager deux cas de figure.

* Les deux fractions ont même dénominateur.
Par exemple, additionnons les fractions et .

Parlons tout de suite de ce qu'il ne faut pas faire !

Certains petits malins diront certainement que pour additionner deux fractions, il suffit d'ajouter séparément leurs numérateurs et leurs dénominateurs !
En clair, ils feront la bêtise suivante :
C'est une belle anerie car 0,25 + 0,5 est égal à 0,75. Et non à 0,375 !
Donc ce n'est certainement pas ainsi qu'il faut faire !

Envisageons les choses de manière plus gastronomique !
Rapportées à un gâteau rond partagé en quatre parts, la fraction représente une part et correspond à 2 parts.
Comme nous devons faire une addition, additionnons les parts !
Nous avons donc la situation suivante :

Inspirons-nous de cet exemple gourmand.
La bonne manière d'additionner les fractions et est donc :
Comme est égal à 0,75 , nous avons donc trouvé le bon résultat !
Nous savons désormais comment additionner (et même soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur.

Règle 1 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur.
Pour calculer la somme (ou la différence) de deux fractions ayant le même dénominateur :
o on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs.
o on conserve leur dénominateur commun.
Autrement écrit :

Cette règle est certes utile mais que se passe-t-il lorsque les deux fractions n'ont pas le même dénominateur ?
C'est l'objet du cas suivant.


*

Les deux fractions n'ont pas le même dénominateur.
Par exemple, additionnons les fractions et .
Représentons pâtissièrement cette addition :
A quelle fraction correspond la part totale ? Voilà la question !
Les quarts et les tiers ne s'additionnent pas facilement même lorsqu'il s'agit de parts de gâteau !
La seule chose que nous savons faire est d'additionner deux fractions ayant le même dénominateur.
Nous allons donc mettre les fractions et sur un même dénominateur.
Parmi les dénominateurs communs possibles, il y a 12, 24, 36...
Nous choisissons le plus simple d'entre eux qui est 12.



La situation vient donc évolué : au lieu d'additionner des quarts et des tiers, nous additionnerons des douzièmes...


La bonne manière d'additionner les fractions et est donc :


Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur, il suffit de leur trouver un dénominateur commun. D'où la règle suivante :

Règle 2 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant des dénominateurs différents.
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions n'ayant pas le même dénominateur :
o on les met sur un même dénominateur.
o puis, on les additionne (ou on les soustrait) en utilisant la règle 1.

Nous savons désormais comment additionner ou soustraire deux fractions grâce à nos deux règles. Mais rien ne remplace la pratique !
C'est l'objet du prochain paragraphe.





Addition ou soustraction particulières.
Dans le précédent paragraphe, nous avons vu et expliquer les règles qui permettent d'additionner et de soustraire deux fractions.
Dans ce paragraphe, nous allons la mettre en pratique sur deux exemples particuliers.
Exemple 1 Exemple 2

Exemple 1 : le plus petit dénominateur commun.
Effectuons l'opération .
Pour soustraire ces deux fractions, il faut au préalable leur trouver un dénominateur commun.
Certains diront que leur dénominateur commun est 48 = 8 × 6.
C'en est un mais ce n'est pas le plus simple !
Le plus simple est 24 car 24 = 8 × 3 et 24 = 6 × 4.



Nous aurions pu faire le calcul en choisissant pour dénominateur commun 48 mais ils auraient été un peu plus compliqués...
Exemple 2 : additionner un entier et une fraction.
Par exemple, effectuons l'opération .
Là, il y en a qui vont dire : "Additionner deux entiers, on sait faire. Additionner des fractions, on sait faire. Mais additionner un entier et une fraction, on ne sait pas faire !

Erreur car un entier est une fraction qui s'ignore ! En effet, .
A partir de là, nous savons faire !

Ce que nous avons fait pour l'entier 3 peut être refait pour n'importe quel nombre décimal car un décimal est lui aussi une fraction qui s'ignore.





Multiplier deux fractions.
Contrairement à l'addition et à la soustraction, les fractions se passent très bien le cap de la multiplication. Peut-être est-ce parce que une fraction est avant tout une division...


Règle : multiplier deux fractions.
Le produit de deux fractions est la fraction dont :

* le numérateur est le produit des deux numérateurs des deux facteurs.
* le dénominateur est le produit des deux dénominateurs de deux facteurs.

Autrement écrit :

Ainsi par exemple :
Nous savons multiplier deux entiers ou deux fractions. Mais qu'en est-il de la multiplication d'une entier par une fraction ?
Le problème : multiplier un entier et une fraction.
Par exemple, effectuons la multiplication 3 × .
A l'opération près, c'est l'exemple 2 du précédent paragraphe.
Nous avions usé alors d'une grosse astuce en disant que l'entier 3 était aussi la fraction .
Réutilisons cette astuce...

Une remarque : Si l'on regarde bien ce qui a été fait, on observe que :

* on a multiplié le numérateur 2 par l'entier 3.
* on a conservé le dénominateur 7.

C'est l'application de la règle :





Des additions, des soustractions et des multiplications : la totale !
Dans une expression, il est possible d'avoir trois fractions, une addition et une multiplication. Par exemple, nous pourrions être amené à calculer .
Point de panique car ce genre de calculs, nous savons les faire. C'est juste une histoire de priorités opératoires.

Voyons comment marchent les choses avec deux exemples :

* Calculons .
Cette expression se compose d'une addition et d'une multiplication. Cette dernière est prioritaire sur la première. Le calcul commencera donc par la multiplication.



* Calculons .
La présente expression comporte une multiplication et une addition entre parenthèses. Nous devons en priorité nous occuper de ce qui est entre parenthèses.




Une remarque de présentation dans tes calculs :
A l'issue d'un calcul, on s'arrange (et t'arrangeras) toujours pour donner la fraction la plus simple possible. C'est-à-dire celle ayant les plus petits numérateur et dénominateur possibles.