Dérivabilité et étude de fonctions

Sujet du devoir

Exercice 1. 

On considére la fonction f définie sur IR par:                           xf ; x - 0 , 1 , ; x 1 , 0 2 xf 2 2 x x x x x (C )f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé  O ; ; i j .

1)Montrer que f est continue aux points 0 et 1 .

2)Etudier la dérivabilité de la fonction f à droite et à gauche aux points 0 et 1 ., et donner une interprétation géométrique de chacun des résultats obtenus. (schématiser)

3) a) Calculer lim f(x) x  , en déduire la nature de la branche infinie au voisinage de   . (schématiser)

b) Calculer lim f(x) x  . Montrer que la droite 2 1 ( y:)  x2  est une asymptote à la courbe representative de f au voisinage de   . (schématiser)

4) Calculer f (x) ' , pour tout x de l’intervalle  1 , 0  , en déduire son sens de variations sur  1 , 0 . 

5) Calculer f (x) ' , pour tout x appartenant à -  0 , 1 ,    , en déduire le sens de variations de f sur chacun des intervalles -  0 ,  et 1 ,   .

6) Donner le tableau de variations de f sur IR .

7) Tracer la courbe (C )f sur le repère  O ; ; i j .

8) Soit g la restriction de f sur l’intervalle  1 , 0 .

a) Montrer que g admet une bijection réciproque -1 g définie sur un intervalle J qu’on déterminera.

b) Donner le tableau de variations de -1 g .

c) Tracer (C 1- ) g dans le meme repère  O ; ; i j ..

d) Déterminer g )x( -1 pour tout x l’ intervalle J .

e) Calculer g(1/2), en déduire g  )

6/1( ' 1- Exercice 1. Maths-inter.ma On considére la fonction f définie sur IR par:     2 2 xf  1 x  x (C )f est la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé  O ; ; i j . 1)

a) Calculer lim f(x) x  et x f(x) lim x  , en déduire la nature de la branche infinie au voisinage de   . (schématiser)

b) Calculer lim f(x) x  , puis étudier la nature de la branche infinie au voisinage de   . (schématiser) 2) a) Montrer que    x  x 2 x IR ; 1 , en déduire que x IR ; f(x)  0

b) Montrer que   2 ' 1 2 )( x IR ; f x x xf      . c) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur IR .

3) a) Calculer 0f  et f 0 ' , puis donner l’équation de la tangente (T) à (C )f au point d’abscisse 0 . b) Dresser (T) et (C ) f dans le repère  O ; ; i j  ( unité 2 cm ) 4) a) Montrer que f admet une bijection réciproque -1 f définie sur un intervalle J qu’on déterminera. b) Donner le tableau de variations de -1 f . c) Tracer (C 1- ) f dans le meme repère  O ; ; i j .. d) Déterminer )x(f -1 pour tout x l’ intervalle J et calculer Calculer f  )

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