DM Fibre optique (optique géométrique, lois de Descartes...)

Publié le 1 nov. 2015 il y a 8A par Anonyme - Fin › 3 nov. 2015 dans 8A
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Sujet du devoir

Bonsoir, voici l'exo : http://docdro.id/Jqnytk5. C'est assez urgent, je dois le rendre lundi

J'aimerais quelques précisions vis à vis de l'énoncé, je bloque dès la premiere question, il me semble que si je saisis le raisonnement je pourrai faire au moins les deux questions qui suivent.

 Un grand merci si vous acceptez de m'aider, je suis vraiment coincé, je n'arrive à rien...

 

 

 

Où j'en suis dans mon devoir

 1. Il me semble que la question du 1 revient à montrer que l'angle phi doit nécessairement être supérieur à arcsin(ng/nc) (phénomène de réfraction limite) pour qu'il n'y ait pas réfraction, mais ça semble pas coller avec ce que je dois montrer...  On aurait alors phi_lim = arcsin(ng/nc), et phi > arcsin(ng/nc) pour qu'il n'y ait pas de réfraction.

Or puisqu'il me semble que theta = 90 - phi, alors theta < 90-arcsin(ng/nc)...

donc theta devrait être inférieur à une certaine valeur pour qu'il y n'ait pas réfraction ? Le souci c'est que je dois justement démontrer le contraire...

 

2. Pour la 2, j'ai "admis" que theta_lim = 90-arcsin(ng/nc), ce qui me donne environ 14.44°

 

3. Il me semble que selon la loi de descartes, on a n(air)sin(i) = ncsin(phi) 

n(air)=1, donc on a sin(i)=ncsin(phi)

or phi_lim = arcsin(ng/nc), soit sin(i_lim)=ncsin(arcsin(ng/nc)=ng>1... donc impossible (-1<sin(x)<1). Je suppose donc que ma valeur de phi_lim, mais je vois vraiment pas où est mon erreur ?

 

4. Pour la 4, j'ai le temps minimal : L/(c/nc) = (nc*L)/c (si i=0, le rayon traverse la fibre de distance L en ligne droite, et à la vitesse (c/nc))

Pour le temps maximal j'ai essayé d'utiliser les angles pour calculer les longueurs auxquelles correspondrait le trajet le plus long (en utilisant les formules de trigo)

Par exemple, j'ai essayé de déterminer la longueur de l'hypothénuse du premier triangle rectangle (celui contenant les angles phi et theta), j'ai trouvé a/cos(theta_lim)

J'ai fait de même pour le reste, et au  final j'arrive à la distance d = L+3a(1-tan(theta_lim) ce qui est faux selon la valeur de theta que j'ai trouvee (14.4°) puisque ça me donne une distance inférieure à L.

Je ne sais pas d'où vient mon erreur exactement, mais je suppose que si theta=theta_lim, on aura plus de "réfléxions" que sur le schéma. Je vois pas comment faire pour déterminer leur nombre et particulièrement comment calculer la distance que parcourt le rayon lumineux quand theta=theta_L.

 

5. Pour cette question je pense pas avoir de souci, le tout est de déterminer l'expression de delta_t

6. Je dois donc trouver une fonction polynomiale de degré 2 définie sur [0;1] avec F(0)=1 et telle que F(-1)=F(1)

Si j'ai F(1) pas de souci jsaurai le faire, mais j'ai encore du mal à bien comprendre l'énoncé

Pour calculer F(1) j'ai raisonné comme ça :
comme dans la formule on a F(a/r) [avec a la moitié de la largeur du coeur, et r la distance à l'axe de la fibre], si a/r = 1 alors a=r, et on calcule alors n(a)
Donc si je connais n(a) j'ai juste à réecrire la formule et isoler F(1),pas de problème

Mais je ne comprends pas ce qu'implique a=r, je pensais que dans ce cas on a n(a)=nc, mais en faisant le calcul j'arrive à F(1)=0, ce qui me semble incohérent, puisqu'il est impossible de construire une fonction polynomiale de degré 2 avec trois valeurs d'annulation (-1,0,1)

Mais si a=r => n(r)=ng alors je trouve F(1)=-1=F(-1) et ainsi F(x)=-x^2

Ce qui me semble déjà plus cohérent, mais de toute manière je ne comprends pas pourquoi a=r impliquerait que n(r) = ng.

 

7. Si j'ai l'expression de F ça se fait sans problème

Si F(x) = -x^2, je n'ai qu'a remplacer F(r/a) par - r^2 / a^2

 

8. Je pense avoir trouvé pour cette question, selon la loi de Descartes nk*sin(theta_k) = n(k+1)sin(theta_k+1), pour tout k 

 

9. Puisque cette relation est vérifiée pour tout k, on a Uk = nk*sin(theta_k)=ncsin(theta_0)=cte, pour tout k 

Je cherche donc à exprimer Uk en fonction de i et nc

Selon la loi de descartes, sin(i)=ncsin(phi) = nccos(theta_0) (car phi = 90-theta_0)

Ensuite, je ne vois pas comment simplifier cette expression pour arriver à ncsin(theta_0)=quelque chose dépendant de i et nc...

10. En appliquant les relations trigos dans le triangle rectangle contenant theta_k, je trouve delta_zk=tan(theta_k)*delta_r

J'espère que ce résultat est correct... ^^

11. En connaissant la valeur de U, je pense que je peux arriver à démontrer l'égalité.

 

Je me suis arrêté ici, je n'ai pas tenté les questions suivantes.

 

Merci !

 

 

 

 

 

 




2 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Posté le 1 nov. 2015

Bonsoir, petite updateje suis parvenu à terminer tout jusqu'à la question 11. Je bloque à partir de la 12 :/

Anonyme
Posté le 1 nov. 2015

Nouvelle update, je suis à la question 15. Il me semble que quand la distance est maximale, theta=theta_L. Donc on a U=ncsin(theta_L)=ng (car theta_L = arcsin(ng/nc)

Si U=ng alors :

 

(dr/dz)^2 = (n(r)^2)/(ng^2) - 1

En utilisant l'égalité de la question 7,

n(r)^2=nc^2-sin(imax)^2 * (r/a)^2

 

Et en remplacant, j'ai finalement dr/dz = sin(imax)/ng * sqrt(1-(r/a)^2)

 

Je sais pas si mon résultat est bon, mais mon expression ne dépend pas de z, c'est normal ? je dois ensuite trouver une expression de r(z) de la forme r(z)=asin(Cz), mais je vois comment en intégrant cette expression je peux me retrouver avec quelque chose avec un sinus :(

 

Aidez-moi svp, si j'arrive à faire ces deux questions (15 et 16) je pense (presque) pouvoir finir le DM


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