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Sujet du devoir
On considère deux fonctions f,g: I -> R de classe C-infini dans un intervalle I voisinage de x=0, vérifiant f(0)=1 et g(0)=0. Soit (E) l'équation du second degré d'inconnue y définie pour tout x fixé de I par(E) y²-2yf(x)+g(x)=0
(x est un paramètre)
1)Montrer qu'il existe au moins un voisinage V de x=0, qu'on ne demande pas de déterminer, tel que pour tout x de V, (E) possède une unique solution dépendante de x, qu'on notera h(x), vérifiant h(0)=0.
(Indication: on remarquera que f²(0)-g(0)=1>0 et on utilisera la continuité de la fonction f²-g).
2) On définit ainsi une fonction h: V -> R. Montrer que h appartient à C infini (V)
3) Montrer que h possède un développement limité à tout ordre en x=0. Determiner ce développement à l'ordre 2.
Où j'en suis dans mon devoir
Je n'ai pas effectué grand chose. Au départ j'avais pensais à développer 'équation comme un trnôme du second degré avec f(0) et g(o), ce qui me donnait deux racines réelles y=2 et y=0. Mais au final ça ne m'avance pas à grad chose.Pour le 2) et le 3), n'ayant pas trouver h(x) je ne m'y suis pas encore penché, bien que je ne pense pas que le 3) me poserait beaucoup de difficultés.
10 commentaires pour ce devoir
Alors j'ai essayé du fait de la solution unique, de partir du principe que delta=0, or intuitivement on se rend compte que pour x=0 4(f²(x)-g(x))>0, j'ai fait abstraction de ça et j'ai fait xo=-b/2a, ce qui donne au final h(x)=f(x), donc h(0)=1, ce qui d'après l'énnoncé est faux.
A force de chercher j'ai essayé avec les deux racines, ce qui donne pour x1=f(x)-racine²(f²(x)-g(x)) et pour x2=f(x)+racine²(f²(x)-g(x)), donc pour x=0 x1=0 et x2=2, donc x1 pourrait être h(x), mais je me retrouve toujours avec deux racines.
J'avais pensé à dire que 2 ne faisait pas partis du dommaine de définiiton mais n' ayant pas à définir le voisinage ce n'est pas possible de conclure si facillement.
Du coup je cherche toujours une solution, les deux racines me paraissent viables mais est incompatible avec la solution unique.
A force de chercher j'ai essayé avec les deux racines, ce qui donne pour x1=f(x)-racine²(f²(x)-g(x)) et pour x2=f(x)+racine²(f²(x)-g(x)), donc pour x=0 x1=0 et x2=2, donc x1 pourrait être h(x), mais je me retrouve toujours avec deux racines.
J'avais pensé à dire que 2 ne faisait pas partis du dommaine de définiiton mais n' ayant pas à définir le voisinage ce n'est pas possible de conclure si facillement.
Du coup je cherche toujours une solution, les deux racines me paraissent viables mais est incompatible avec la solution unique.
Tu as raison on est allés trop vite. Essaye avec ça:
il existe un voisinage de 0 sur lequel on a: y²-2y=0
sur ce voisinage, tu soustrais membre à membre y²-2yf+g=0 et y²-2y=0
tu trouves : y=g/2(1-f)
Soit h=g/2(1-f) sur ce voisinage.
il existe un voisinage de 0 sur lequel on a: y²-2y=0
sur ce voisinage, tu soustrais membre à membre y²-2yf+g=0 et y²-2y=0
tu trouves : y=g/2(1-f)
Soit h=g/2(1-f) sur ce voisinage.
non finalement, je n'ai pas l'impression que ça marche non plus.
En fait ça marche avec ta méthode des deux racines puisque seule
racine²(f²-g)-f vérifie h(0)=0 ce qui implique son unicité... sur le voisinage de zéro de l'énoncé
racine²(f²-g)-f vérifie h(0)=0 ce qui implique son unicité... sur le voisinage de zéro de l'énoncé
Ah merci beaucoup, du coup ça s'éclairçit un peu. Par contre un point me parait un peu obscur, le fait de dire "et on utilisera la continuité de la fonction f²-g", la continuité c'est vraiment quelque chose qui me passe au dessus en général et je ne vois pas comment l'utiliser, puisque il me semble qu'on en a pas eu besoin pour définir la solution unique.
tu dois prouver aussi qu'il existe un voisinage de zéro sur lequel racine²(f²-g) est bien définie. Autrement dit qu'il existe un voisinage de zéro sur lequel tu as f²-g>0
Or f²-g continue et f(0)²-g(0)=1>0 signifie que pour tout espilon strictement positif, il existe un voisinage de zéro sur lequel pour tout x lf(x)²-g(x)-1l
Or f²-g continue et f(0)²-g(0)=1>0 signifie que pour tout espilon strictement positif, il existe un voisinage de zéro sur lequel pour tout x lf(x)²-g(x)-1l
Ok d'accord, j'ai noté pour cette partie il faudra que j'organise un peu tout ça.
J'ai tenté de chercher un peu pour le reste. Concernant le deux, j'ai pensé que h étant composé des deux fonctions f et g qui sont de classe C-infini, alors h est de classe C-infini (Mais ça me paraît un peu trop simple).
Pour la 3, je pensais que la fonction h étant infininiment dérivable elle possédait un DL à tout ordre. Mais si c'est ça il faut que je trouve comment.
J'ai tenté de chercher un peu pour le reste. Concernant le deux, j'ai pensé que h étant composé des deux fonctions f et g qui sont de classe C-infini, alors h est de classe C-infini (Mais ça me paraît un peu trop simple).
Pour la 3, je pensais que la fonction h étant infininiment dérivable elle possédait un DL à tout ordre. Mais si c'est ça il faut que je trouve comment.
2)Utilise le fait que h est la composée de Vx et de f²-g. Or f²-g est Cinfini, ça c clair et Vx est Cinfini sur R+*. Or on vient de montrer à la question 1 que pour tout x de V, (f²-g)(x) € R+*. Donc c'est règlé.
3)Soit r(x)=Vx et s(x)=(f²-g)(x). Ca revient à faire un dl de la fonction composée ros
3)Soit r(x)=Vx et s(x)=(f²-g)(x). Ca revient à faire un dl de la fonction composée ros
J'ai voulu faire la fonction composée de la fonction mais je suis tombé sur un os. f²(x)-g(x) donne 1 lorsque x tend vers 0. Je pense donc à mettre la racine ss la forme de la puissance 1/2.
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E admet une unique solution ssi delta=0
Tu dois montrer que pour tout epsilon>0 il existe un êta>0 tel que pour tout x appartenant à ]-eta;êta[ lf(x)²-g(x)l
2) tu résous cette équation comme si delta = 0. Tu trouves h en fonction de f et de g, etc.