Application linéaire et base

Sujet du devoir

Bonjour, j'ai un exercice à faire, voici mon énoncé : 

Soit G un espace véctoriel de dimension n et  l’application f :  G × G → G                                                                                                                          (x,y) → x-y 

a) Montrer que f est une application linéaire.

b) Soit B = (y1, . . . , n) une base de G. Montrer que B ′ =  ((y1, 0), . . . ,(yn, 0),(0, y1), . . . ,(0, yn)) est une base de G × G.

c) Calculer l’image  des éléments de B ′ par f puis  en déduire Im(f).

d) Montrer que dim(Ker(f)) = n et trouver une base de Ker(f).

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai fait la premère question mais je suis bloquée pour le reste surtour pour la b) si qu'elqun peut m'aider ce serait très gentil de votre part. 

2heures plus tard je modifie : j'ai fait quelque chose pour la 2 mais je ne suis pas sûre du tout , j'ai cherché à montrer que  B' = 0, j'ai dis que c'était une famille libre donc forme une base..

Pour la c) je suis toujours bloquée

La d) je pense avoir trouvé j'ai utilisé le théorème du rang avec dim G = n  et dim (Im (f)) = 0 et j'ai trouver dim (ker (f)) = n mais je ne sais pas trop comment faire pour la base j'ai fait :  x-y=0 --> x=y donc on a ker (f) = (y,y) donc ker (f) = (1,1) qui est la base je ne sais pas du tout si c'est juste ...

Merci d'avance !