DL - Fonction réciproque.

Publié le 22 févr. 2010 il y a 14A par Anonyme - Fin › 3 mars 2010 dans 14A
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Sujet du devoir

1) On considère la fonction f: R->R définie par

f(x)=exp(x)-(1+x)^alpha

alpha est un réel fixé et 0
Préciser son ensemble de définition. Donner un DL àl l'ordre 2 en x=0. Quelle est au voisinage de x=0 la position de la courbe (C) réprésentation graphique de f par rapport à sa tangente (T) au point d'abscisse en x=0.


2) Montrer avec toutes les précisions nécessaires qu'il existe au moins un intervalle I au voisinage de x=0 pour lequel f est une bijection strictement croissante de I sur J=f(I) et tel que que f^-1 soit dérivable dans J (On ne demande pas d'expliciter I). Déterminer le DL à l'ordre 1 en y=0 de la fonction f^-1.

Où j'en suis dans mon devoir

1) Pour l'ensemble de défintion, étant donné que pour exp(x) Tout x appartient à R et que pour (1+x)âlpha x appartient [-1;+ infini]
Alors l'ensemble de définition de f(x) est [-1;+ infini] (Je crois !!!)

Pour le DL je trouve:

f(x)= x(1-alpha)+ (x²(1-alpha(alpha-1))/2+o(x²)

Pour la courbe la je sais pas.

2) Je connais la définition de la bijection et la définition et la propriété des fonctions réciproques, mais j'arrive pas à associer pour trouver la solution.



2 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Anonyme
Posté le 23 févr. 2010
1)Ben t'as fait le plus dur. L'équation de la tangente en 0, c'est y = f'(0)x + f(0) = (1-alpha)x car f(0) = 0 et f'(0) = 1-alpha
donc f(x)-(1-alpla)x=-x²/2(alplha²-alpha-1)
le trinôme est positif quand alpha € ]0;1[ donc C est au-dessous de sa tangente sur ce voisinage
Anonyme
Posté le 28 févr. 2010
D'accord, je connaissais pas pour le supérieur, enfin pas pour une tangente.

Pour la fonction reciproque de l'équation je pense que pour y->x=e^y mais pour (1+x)âlpha je sais qu'elle est la reciproque

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