DM les deux disques

Sujet du devoir

Deux disques D et D', de rayon R et R', tournent dans le même sens autour de leur centre respectif O et O'. M et M' sont deux points de la circonférence de ces disques. A l'instant t=0, M et M' sont respectivement en A et A'. On admet qu'à chaque instant les points M et M' ont parcouru des distances identiques.

Le but de ce problème est de voir si M et M' peuvent se retrouver à nouveau dans la même position à un autre moment.

Partie A
1. Soit x et x' le nombre de tours effectués respectivement par le disque D et D' à un instant donné t.
a) Montrer qu'à un instant t la distance parcourue par le point A est égale à 2xRπ.
b) Montrer que 2xRπ=2x'R'π.
c) Que représentent les nombres 2xRπ=2xRπ pour les angles (OA;OM) et (OA';OM') ?

2. Supposons qu'à l'instant t le point M se trouve en A et le point M' en A'.
a) Montrer qu'il existe alors deux entiers naturels k et k' tels que 2xRπ=2kRπ et 2x'R'π=2k'R'π.
b) En déduire qu'il existe alors deux entiers naturels k et k' tels que kR=k'R'.

3. Réciproquement, supposons qu'il existe deux entiers naturels k et k' tels que kR=k'R'. Démontrer qu'il existera un instant t différent de 0 où les points M et M' de ces deux disques se trouverons en même temps respectivement en A et A'.


Partie B
Dans chacun des cas suivants, indiquer après combien de tours les points M et M' se trouverons en A et A' pour la première fois.
a) R=10 et R'=5
b) R=12 et R'=18
c) R=1 et R'= racine de 2


Partie C
Considérons la situations où R=12 et R'=18. Mais cette fois-ci à l'instant 0, le disque de rayon R a un quart de tour d'avance sur le disque de rayon R'. Est-il possible que les points M et M' se trouvent respectivement en A et A' un peu plus tard ?

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai déja traité la question 1. J'avoue être bloqué pour la suite ...

D'avance, merci pour votre aide.