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Sujet du devoir
Soient A et B deux matrices nilpotentes de Mn(IK), de périodes respectives p et q, telles que AB = BA.a) Vérifier que l'on peut écrire :exp(A+B)=SOMME[k=0 à p+q-2]((A+B)^k)/(k!)
b)On suppose que p = q = 4
Montrer que exp(A + B) = exp(A) exp(B)
(Les règles de calcul avec les sommes simples et doubles de matrices sont les mêmes qu'avec les
sommes de scalaires lorsque toutes les matrices en présence commutent; on peut effectuer des
décalages d'indice dans les sommes simples et intervertir l'ordre des sommations dans les sommes
doubles selon les méthodes habituelles)
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai fait la première question. Pour la deuxième, je n'arrive pas à faire le lien entre les deux. J'ai essayé la définition de l'exponentielle et la formule du binôme, mais je coince.2 commentaires pour ce devoir
Merci pour le coup de pouce. Je n'avais pas utilisé la nilpotence ce qui est drôlement bête dans cet exercice. Plus une erreur de calcul de glissée là.
Ils ont besoin d'aide !
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Ca marche bien en utilisant les deux notions que tu évoques :
D'un côté, tu développes exp(A)exp(B) (c-a-d (Id + A + A²/2 + A3/6)(Id + B + B²/2 + B3/6))
De l'autre, tu dévloppes chacun des termes de exxp(A+B) (c-a-d des machins du type (A+B)n, en te servant de cette formule du binôme, ET en n'oubliant pas que A4=B4=A5=B5=A6=B6=0).
Bon je n'ai écrit An au lieu de A^n, mais je pense que tu as compris.
Ecris ce que tu as fait et on t'aidera à trouver ton erreur !