Fonctions et équivalents

Publié le 11 janv. 2011 il y a 13A par Anonyme - Fin › 12 janv. 2011 dans 13A
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Sujet du devoir

Hello,tous le monde !!
Voilà je me présente je m'appelle Mathilde j'ai 19 ans et je suis en prépas !!
En fait, mon prof de maths nous a donné pas mal d'exercices à faire que j'aime faire d'ailleurs :) mais voilà seul hic il y a certaine chose que l'on n'a pas encore vu en classe
Pourtant j'essaye grâce au net avec des cours en ligne etc mais en vain
voici mes exercices:
1 /Etudier aux bornes de son ensemble de définition la fonction f , puis donner éventuellement un équivalent de f (x) si
a) f(x)=(x+1/racine(x^2+1))-1
b) f(x)=(x^2-x)/x^2-2x+1
c) f(x)=x^2-5x+4/x^2-2x+3
d) racine(x+4)/racine(x)
e) racine(x^2+1)/x^2-x-1
f) x+ln(1+exp(x))

2 /comparez (négligeable,dominé,équivalent) en + ∞
a) x et x/2 b)exp(x) et exp(x/2) ln(x) et ln(x/2)


Voilà :) !!
J'essaye parce que j'aime chercher trouver de nouvelles idées mais j'avoue maintenant je suis largué
En tout cas je vous remercie de votre aide

Où j'en suis dans mon devoir

Mon travail:

J'ai bien sûr trouver tous les ensembles de définitions des fonctions
en revanche les équivalents sont très difficiles à trouvé !!
mais j'essaye toujours :)



1 commentaire pour ce devoir


Anonyme
Posté le 11 janv. 2011
La stratégie générale pour ce genre d'exercice est d'abord de calculer la limite. Dans le cas où elle est finie non nulle, elle constitue l'équivalent. La majorité des cas concerne donc le cas où la limite est nulle ou infinie.
Ensuite il faut arranger l'expression de manière à se ramener à des développements limités connus en 0. Prenons comme exemple la première fonction a) . Ici la racine intervient, on pense donc au DL en 0 de la fonction racine(1+x)~1+x/2
La fonction proposée tend clairement vers 0 en + ∞. Il faut donc arranger x+1/racine(x^2+1)~x/racine(x^2+1) et
1/racine(x^2+1)=1/x*[1/racine(1+1/x^2)] maintenant on retrouve la forme connue de racine(1+z) avec z tend vers 0 (ici z=1/x^2)
donc 1/racine(x^2+1)~1/x*(1/[1+1/(2*x^2)])~1/x*[1-1/(2x^2)]
(avec le DL en 0 de 1/(1+x)~1-x
Finalement, a) f(x)~-1/(2x^2) en + ∞
(de manière tout à fait rigoureuse, il faudrait raisonner avec des DL et non des équivalents pour être sûrs d'inclure tous les termes dans le o(1/(2x^2)))

En espérant avoir pu t'aider et été assez clair, bon courage pour le reste.

(pour simplifier l'exercice, il est généralement efficace de factoriser le terme de plus haut degré pour retrouver un terme tendant vers 0)

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