Intégration - DL - Coefficient

Sujet du devoir

3a) Montrer qu'il existe une fonction x|-> epsilone(x) définie dans R, vérifiant lim (quand x tend 1) epsilone(x)=0 et telle que:

1/(x²+1)²=Somme(de k=0 à n-1)a[sub]n-k[/sub]((x-1)^k)+(x-1)^(n-1)*epsilone(x)

En déduire une méthode de calcul des coefficients a[sub]k[/sub], k=1,...n.

b) On suppose n=4. Donner le développement limité à l'ordre 3 de x|->1/(x²+1)² au voisisnage de x=1. En déduire les coefficient a[sub]k[/sub], k=1...4.

4)A l'aide des questions 2 et 3, donner la décomposition en élément simples de f(x)=1/[(x-1)^4(x²+1)² ainsi que les primitives Intégrale(f(x)dx) de f dans R\(1)

Où j'en suis dans mon devoir

Cet exo est la suite du 1) et du 2) mais étant assez long je l'ai scindé en deux.

Au départ on avait f(x)=1/[(x-1)^n(x²+1)²]
n=4p

d=0, e=(-1)^p/4^p, b=-a[sub]1[/sub] et c=Somme (de k=1 à 4p)(-1)^(k+1)a[sub]k[/sub]+(-1)^(p+1)/4^p


Pour la 3a). J'avais pensé à faire passer tout de l'autre côté de l'égailité afin d'obtenir espilone(x)= , mais avec x=1 on se retrouve avec un zéro au dénominateur.

Pour la b) J'ai pas essayé encore. Il faut que je me rappelle comment on fait les DL.

Pour la 4) Je pensais mettre sous la forme :
1/[(x-1)^4(x²+1)²]=a(1)/x-1+a(2)/(x-1)²+a(3)/(x-1)^3+a(4)/(x-1)^4+(bx+c/x²+1)+(dx+e/(x²+1)²)

Calculer les coefficients puis intégrer.