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Sujet du devoir
On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par : f(x) = 0 , si x < 0; f(x) = x, si x ≥ 0. On se propose d’´etudier la suite r´eelle (un) d´efinie par la donn´ee de son premier terme u0 et la relation de r´ecurrence :
∀n ∈N,un+1 = un +Z 1 0 f(t−un)dt.
1. (a) Montrer que : si 0 ≤ un ≤ 1, alors un+1 = 1 2(1 + u2 n).
(b) D´eterminer de mˆeme un+1 en fonction de un si un < 0.
(c) D´eterminer de mˆeme un+1 en fonction de un si un > 1.
(d) Montrer que la suite (un) est monotone
2. Etude du cas 0 ≤ u0 ≤ 1.
(a) Montrer que : ∀n ∈N, un ≤ 1.
(b) Montrer que la suite (un) converge et d´eterminer sa limite.
3. Etude des cas 0 < u0 et u0 > 1.
(a) On suppose u0 < 0.
Calculer u1. En d´eduire l’´etude de la suite (un).
(b) On suppose u0 > 1.
Etudier la suite (un).
Où j'en suis dans mon devoir
Je n'arrive pas à faire la première question.Est-ce que quelqu'un peut m'aider pour que je continue?
3 commentaires pour ce devoir
b) Un<0=>t-un>0 on calcul l'integral et si je me trompe pas on obtient Un+1=1/2
c) Un>1=>t-un<0 et donc on doit obtenir Un+1=Un
d) Etudier les variations de la suite
2a) simple reccurence
Ils ont besoin d'aide !
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si Un compris entre 0 et 1 comme la fonction est continue sur l'intervalle [0;1]
on peut separer l'integrale en une somme de deux integrales l'une sur l'intervalle [0;Un] et l'autre sur l'intervalle [Un;1]. Par ailleurs pour 0<t<Un sur le premier intervalle t-Un negatif Donc
f(t-Un)=0 donc l'integral disparait
Pour Un<t<1 t-Un est positif f(t-Un)=t-un qui a pout integrale t²/2-Un*t
Tu dois donc obtenir U(n+1)=Un+ (1/2-Un)-(Un²/2-Un²) ce qui te mène aisement à l'expression recherché : U(n+1)=1/2(1+Un²)