optique géométrique / arc-en-ciel

Sujet du devoir

bonjour à tous, voici mon devoir:

je travail sur la formation des arcs-en-ciel, via l'optique géométrique. 

On appelle D l'angle de déviation subie par le rayon incident, j'ai su démontrer la relation D=2pi+2i-4r

je dois ensuite caculer dD/di, et nous avons un rapelle disant que {arcsin[f(x)]}=[f'(x)]/[√1-f(x)^2]

je trouve alors dD/di=2-4{[cosi]/[√1'(sini/n)^2]}

mais je pense que j'ai faux ou alors ma dérivée n'est pas juste, de plus, la prochaine question est "on appelle im l'angle d'incidence tel que la déviation est extremum(il s'agit plus précisément d'un minimum de déviation).Exprimer cos^2im; sin^2im puis im en fonction de l'indice n. Exprimer le minimum de déviation Dm en fonction de l'indice n. Ces valeurs dépendent-elle du rayon de la goutte ?"

alors bien évidemment j'ai fait des recherches pour résoudre ces questions mais je ne comprend pas tous, car ils obtiennent des sinr ou cosr et je ne sais pas comment ils ont fait, quelqu'un pourrais m'aider ? merci d'avance