analyse d'espace vectoriel

Sujet du devoir

Exo : On considère l’espace vectoriel E = C([0; 1]; R) muni de la norme ||f||_∞ = sup_t∈[0,1] |f(x)|.

1. Montrer que F = {f ∈ E; ∀x ∈ [0; 1], f(x) ≥ 0} est un fermé de E.

2. Soit U = {f ∈ E, ∀x ∈ [0; 1], f(x) > 0}

a. Soit f ∈ U.

Justifier l’existence du minimum de f, que l’on notera m.

Montrer que la boule ouverte de rayon m et centre f est donnée par : B(f, m) = {g ∈ E : f(x) − m < g(x) < f(x) + m  ∀x ∈ [0, 1]}

b. Montrer que U est un ouvert de E.

Où j'en suis dans mon devoir

Bonjour je ne comprend rien pour cet exercice pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

Je vous remercie d'avance pour toutes aides ^^