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Sujet du devoir
E est un R-espace vectoriel de dimension finie au moins égal à 3. On donne p et q deux projecteurs sur E vérifiant : p=/ 0, q=/ 0, q=/IdE, p=/IdE et poq=qop.
On pose f=p+q et u = poq
Première partie
1)a. Vérifier que u est u est un projecteur
b. Etablir Spf inclus dans {0,1,2}
2) Trouver une relation entre Ker p et Ker q équivalente à la proposition (0 appartient à Sp f)
3) Trouver une relation entre Ils et Imp équivalente à la proposition (2 appartient à Sp f)
4)a. Etablir (2 n'est pas dans Spf) => (1 est dans Spf)
b. Montrer de même : (0 n' est pas dans Spf) => (1 est dans Spf)
5) Etablir : Sp f =/ {1}
6) Nous savons maintenant que Sp f est l'un des 4 ensembles {0,1,2}, {0,1}, {1,2} ou {0,2}. Montrer par des exemples simples que chacune de ces éventualités peut être réalisée.
Lorsque Sp f = {0, 1} f est il un projecteur?
Où j'en suis dans mon devoir
J'aimerais avoir de laide sur tous ces points ayant trouvé des réponses dont je ne suis pas sûre.
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