Fonctions dérivées et asymptote

Publié le 3 mars 2010 il y a 10A par Anonyme - Fin › 7 mars 2010 dans 10A
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Sujet du devoir

Soit f la fonction de courbe C définie par:

f(x)= x²+1/2x

1)déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.

2)Déterminé la limite de f en + l'infini et en - l'infini

3) déterminé lim f(x) pour x --> 0+
et lim f(x) pour x --> 0-

4) que peu ton en déduire pour la courbe C en x = 0 ?

5) Montrer que la courbe C admet pour asymptote la droite D d'équation y = x/2 au voisinage de l'infini ( on calculera la limite f (x)- x/2 après avoir réduit au même dénominateur)

6)Déterminer la position relative de la courbe C par rapport
à son asymptote oblique D , selon les valeurs de x

7)Calculer la dérivée f ’ de la fonction f

8)Résoudre f ’(x) > 0 en admettant que le signe de f ’ (x)
ne dépend que de l’expression (x – 1) (x + 1) .

9) Déduire le tableau de variation de f sur son ensemble de
définition, en faisant apparaître les éventuels extremums et
limites aux bornes de l’intervalle de définition.

10)Quel est le coefficient directeur des tangentes à la courbe
C aux points d’abscisse - 1 et 1 ? Justifier.

Où j'en suis dans mon devoir

Bonjour a tous
comme vous l'avez deviner mon gros problème c'est les maths je ne comprends pas tout surtout les fonctions dérivées qui est le gros chapitre de l'année. j'ai étudié plusieurs fois l'exercice a tête reposé mais je bloque des le début même avec mes feuilles de cours
Je vous remercierez infiniment de m'aider.



6 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Posté le 4 mars 2010
Bonjour,

f(x)= x²+ 1/2x

1/ le dénominateur ne peut pas être nul. 2x=0 pour x=0 est une valeur interdite
domaine R/0

2/ limites à l'infini
en +inf: 2x=+inf; 1/2x= 0
x²=+inf
donc en +inf, f(x)= +inf

en -inf: 2x=-inf; 1/2x=0
x²=+inf
donc en -inf, f(x)= +inf


3/ limites autour de 0
en 0+: 2x=0+; 1/2x= +inf
x²=0
donc en 0+, f(x)=+inf

en 0-: 2x=0-; 1/2x= -inf
x²=0
donc en 0-, f(x)= -inf

4/ autour de 0, la courbe tend vers +inf par valeur supérieure et tend vers -inf par valeur inférieure donc la droite x=0 (axe des ordonnées) est une asymptote verticale.

Anonyme
Posté le 4 mars 2010
5/
je met au même dénominateur:
f(x)-x/2=
x²+1/2x -x/2=
x²(2x)/2x +1/2x -x(x)/2x=
[2x^3 +1 -x²]/2x=

la limite en +inf de f(x)-x/2 doit être 0 si x/2 est l'asymptote.

[2x^3-x²+1]/2x=
x[2x² -x +1/x]/2x=
[2x²-x+1/x]/2=

lim+inf: 2x² -x +1/x
lim: x²(2 -1/x +1/x^3)
lim +inf: 1/x^3=0
lim +inf: 1/x=0
lim +inf: x²= +inf
donc lim 2x²-x +1/x= +inf

ça ne colle pas car normalement ça marche y=x/2 est une asymptote.

f(x)= x² +1/2x
ou f(x)= (x²+1)/2x?

si c'est la 2ème, les questions 2,3,4 ne sont pas bonnes.
Anonyme
Posté le 4 mars 2010
Tu veux dire qu'il y aurai une erreur dans l'énoncé ?
Anonyme
Posté le 4 mars 2010
non, juste une possiblité de comprendre différemment l'énoncé tel que tu l'as écrit.

2x est le dénominateur de 1 seulement ou de x²+1?

pour le coup ce n'est pas la même fonction sinon.
Anonyme
Posté le 4 mars 2010
Je suis d'accord avec toi c'est galère car on n'a pas forcement la même façon d'écrire que sur le papier ^^ enfin je te remercie de ton aide.
Donc du coup il est impossible de continué la question 6 car je me rappel que mon prof m'a énonce la possibilité que le calcul ou la suite d'un exercice soit impossible dans certain cas ?
Anonyme
Posté le 5 mars 2010
si f(x)= (x²+1)/2x, tout est à refaire

si f(x)= x² +1/2x, la 5 et la 6 sont impossible mais on peut essayer de faire le reste!

7/ dérivée:
f'(x)= (x²)' +(1/2x)'
f'(x)= 2x +(-2/(2x)²
f'(x)= 2x -2/4x²
f'(x)= 2x-1/2x²


8/ f'(x)>0
2x -1/2x² >0
2x(2x²)/2x² -1/2x² >0
(4x^3 -1)/2x²>0

comme x=0 valeur interdire (question 1) alors 2x²>0 toujours vrai
on étudie 4x^3 -1>0

l'ajout dans l'énoncé de "est du signe de (x-1)(x+1)" donc de x²-1, me fais penser sérieusement que la fonction à étudier est f(x)=(x²+1)/2x
car deux questions qui ne peuvent pas se résoudre avec les aides, c'est louche.

à ta place, je reprendrai tout l'exo avec f(x)= (x²+1)/2x
(fonction en quotient).

pour les limites: tu mets en facteur x² au numérateur, tu simplifie par x
limites autour de 0, tu reprend f(x) normal.

pour l'asymptote: (x²+1)/2x -x/2
même dénominateur, tu étudies le numérateur
la limite du résultat doit tendre vers 0

position courbe et tangente: tu étudies le signe de la différence. f(x)-x/2=
si >0 alors f est au dessus
si <0 alors f est en dessous

dérivée: type (uv)'= (u'v - uv')/v²

f'(x)>0, le dénominateur est toujours positif c'est un carré, tu étudies le numérateur qui peut s'écrire (x+1)(x-1)

tableau: ligne x: domaine, valeur interdite
ligne f'(x): signes (donné par f'(x)>0)
ligne f(x): variation, limites en inf et 0, extremum locaux

tangente en 1 point (a;f(a))
T:y= f'(a)(x-a) +f(a)
f'(1)=0 et f'(-1)=0 donc le coefficient directeur est nul, la tangente est une droite d'équation y=b (au lieu de y=ax+b)

Bon courage

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