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Sujet du devoir
On pose a=e (2∏/5)1°) démontrer que a4+a3+a2+a+1=0
2°) on pose Z=a+1/a. démontrer que Z2+Z-1=0
3°) en déduire la valeur exacte de cos (2∏/5)
Où j'en suis dans mon devoir
1°)a4+a3+a2+a+1=
= cos (8∏/5)+ cos(6∏/5)+cos(4∏/5)+cos(2∏/5)+j(sin(8∏/5)+sin(6∏/5)+sin(4∏/5)+sin(2∏/5))+1
= 2cos(2∏/5)+2cos(4∏/5)+1
Après je n’arrive pas à démontrer la suite =0
2°)
Z2+Z-1= 2cos(2∏/5)+2cos(4∏/5)+1
Après je n’arrive pas à démontrer la suite =0
3°)Je ne vois pas comment je peux déduire la valeur de cos (2∏/5)
Je ne souhaite pas seulement la solution mais aussi l’explication sur la partie de cours qui me fait défaut
merci
7 commentaires pour ce devoir
avant de me lancer dans des calculs, je suppose qu'il faut lire a = e^(2pi/5) ?
Bonjour,
oui c'est bien cela exponentiel exposant 2 Pi sur 5.
oui c'est bien cela exponentiel exposant 2 Pi sur 5.
et pour les démonstration c'est a^4+a^3+a^2+a+1
et Z^2+Z-1
je suis nouveau ici désolé pour l'ignorance de la symbolique..
et Z^2+Z-1
je suis nouveau ici désolé pour l'ignorance de la symbolique..
c est pas plutot e^i.(2pi/5) ?
oups suis fatigué moi !!!
oui en effet, j'ai oublié le j
a=e^(2pij/5)
encore toutes mes excuses à ceux qui m'ont répondu. merci d'avance
oui en effet, j'ai oublié le j
a=e^(2pij/5)
encore toutes mes excuses à ceux qui m'ont répondu. merci d'avance
pour la 1°) je bloque au même endroit que toi
pour la 2°), il ne faut pas repasser par l'écriture sous forme trigonométrique:
Z² + Z - 1 = (a+1/a)² + (a+1/a) - 1 = ... = 1/a² * ( ... ) = 0 car dans la parenthèse tu reconnaitras un résultat de la question 1°
pour la 2°), il ne faut pas repasser par l'écriture sous forme trigonométrique:
Z² + Z - 1 = (a+1/a)² + (a+1/a) - 1 = ... = 1/a² * ( ... ) = 0 car dans la parenthèse tu reconnaitras un résultat de la question 1°
5
pour la 3°)
tu résous l'équation Z²+Z-1=0 avec discriminant etc etc...
tu trouves 2 solutions, Z1=(-1+V5)/2 et Z2=...
les solutions sont réelles donc Z est un nombre réel aussi!
Z = a+1/a = ... = 2*Re(a) = 2*cos(2pi/5)
utilise le conjugué de a et le fait que |a|=1 pour cette transformation
donc 2*cos(2pi/5) = Z1 (car Z1 est la solution >0 alors que Z2<0 et comme 2pi/5 est compris entre 0 et pi/2, son cosinus est forcément positif)
ce qui permet de trouver cos(2pi/5)
tu résous l'équation Z²+Z-1=0 avec discriminant etc etc...
tu trouves 2 solutions, Z1=(-1+V5)/2 et Z2=...
les solutions sont réelles donc Z est un nombre réel aussi!
Z = a+1/a = ... = 2*Re(a) = 2*cos(2pi/5)
utilise le conjugué de a et le fait que |a|=1 pour cette transformation
donc 2*cos(2pi/5) = Z1 (car Z1 est la solution >0 alors que Z2<0 et comme 2pi/5 est compris entre 0 et pi/2, son cosinus est forcément positif)
ce qui permet de trouver cos(2pi/5)
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