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Sujet du devoir
On considère la suite (Un) definie par U0 = 0 et Un+1 = √2Un + 3.
- 1) Representer graphiquement les 4 premiers termes de la suite (prendre des approximations en utilisant une calculatrice).
- 2) Demontrer que (Un) est positive et majoree par 3.
- 3) En etudiant les variations de la fonction f(x) = √2x + 3, en déduire que la suite (un) est croissante.
- 4) En deduire que la suite (Un) est convergente. Determiner sa limite.
- 5) La suite (Un) conserve-t-elle les m^emes proprietes si on prend comme premier terme U0 = 3 ?
Où j'en suis dans mon devoir
Par avance merci pour votre aide, je peux vous aider en php/Mysql, javascript, html css ets....2 commentaires pour ce devoir
Merci pour ton aide, j'avais déjà trouvé les premiers termes de la suite.
Je suis dessus et je me permettrai de te faire signe si je bloque.
Encore merci
Je suis dessus et je me permettrai de te faire signe si je bloque.
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1/ Pour trouver les 4 premiers termes de la suite, il te suffit de déterminer u1, u2 et u3 à l'aide de la définition par récurrence : Un+1 = rac(2Un + 3)
Donc U1 = rac(2U0 + 3)=rac(2*0+3) = rac(3)
De même U2 = rac(2U1+3) = rac(2rac(3)+3)
etc
2/ Tu démontres tout d'abord que 0<= Un <= 3 au rang 0, c'est-à-dire que 0<= U0 <=3. C'est ce qu'on appelle l'initialisation de la proposition "P(n) : 0<= Un <= 3".
Ensuite, tu poses que P(n) est vraie au rang n et tu cheches à le montrer au rang n+1.
0<= Un <= 3 donc 2*0<= 2*Un <= 2*3 (car la fonction linéaire x-> 2x est croissante sur R) c'est-à-dire 0<= 2Un <= 6
D'où : 0 + 3 <= 2Un +3 <= 6 + 3 (car la fonction affine x-> x+3 est croissante sur R) c'est-à-dire 3 <= 2Un +3 <= 9
Par suite, comme la fonction racine x-> rac(x) est croissante sur R+, on déduit que : rac(3) <= rac(2Un+3) <= rac(9)
C'est-à-dire 0 <= Un+1 <= 3
La propriété P(n+1) est vérifiée.
La propriété est initialisée au rang 0 et héréditaire donc P(n) est vraie : Un est positive et majorée par 3.
3/ 4/ 5/ Je te laisse un peu poursuivre à l'appui de ces éléments.
Niceteaching, prof de maths à Nice