Resolution equation différentielle linéaire du second ordre

Bonjour

x est la variable et y la fonction que tu peux écrire y(x)

ensuite je ne me rappelle plus tres bien car mes cours de 2eme années sont méga loin mais tu dois résoudre y''+9y=0 non? (solution particulière)

bon courage

oui en effet mais avec les equations du second ordre je suis à la ramasse... :)
Ce n'est pas le seul exercices que j'ai à faire, celles du premier ordre j'y arrive bien mais celle là elle reste en suspend. J'espere que quelqu'un d'autre saura me guider.

Merci :)

normalement une equation de ce type est assez standard

y''+9y=0 : tu dois avoir cela dans ton cours

solution n'est pas un sin ou cos..?????

non je ne l'ai pas dans mon cours...
je pourrais peut-etre le transformer en polynome sous la forme X^2+9=0 puis résoudre tout betement non ?

Bonjour,

Dans un premier temps, tu dois savoir quelques petites choses :

*** une ED linéaire du 2nd ordre est de la forme ay" + by' + cy = d, avec a, b, c et d des fonctions numériques (autrement dit, on a plutôt : a(x)y" + b(x)y' + c(x)y = d(x)) et x appartenant à un intervalle des réels).
Dans ton cas, a=1 ; b=0 ; c=9 et d(x) = sin(3x), avec a, b et c constants car indépendants de x.

*** on appelle équation diiférentielle homogène (ou ED sans second membre) toute ED telle que d(x) = 0. Il faut résoudre l'équation homogène avant de résoudre l'équation qu'on t'a donnée. Dans ton cas, l'ED est à coefficients constants car a, b, et c ne dépendent pas de x (ne sont pas des fonctions de x, si tu préfères)

*** dans le cadre des ED homogènes, il faut déterminer l'équation caractéristique correpondante ; et là ça se complique, surtout dans la mesure où ce site ne se prête pas à ce genre d'écritures

PETIT POINT DU COURS désormais faisant office de technique pour la résolution d'une ED homogène :

On cherche une solution de l'ED homogène sous la forme : y = ke^(rx) où k et r sont des réels à déterminer.

L'équation ay" + by’ + cy = 0 devient : ke^(rx)(ar² + br + c) = 0
(en effet, en dérivant y = ke^(rx), on obtient : y' = kre^(rx) et y" = kr²e^(rx) ; le reste n'est que factorisation par ke^(rx) !)

Si k = 0, alors y est la solution nulle.
Sinon, r est solution de l'équation du second degré, dite équation caractéristique : ar² + br + c = 0

Il te faut alors résoudre cette équation caractéristique. Si tu as bien suivi, celle de ton exercice est la suivante : 1r² + 0r + 9 = 0.

Tu calcules le discriminant et tu as 3 cas à envisager : delta = 0 ; delta > 0 et delta < 0.

As-tu vu cela ? Et comprends-tu pour le moment ?





Niceteaching, prof de maths à Nice

non

pas directement en tout cas

jusqu'à ce stade je comprends bien...

là ça se complique...
j'ai beaucoup de mal à determiner c et d... l'explication semble claire mais j'avoue que je ne comprend pas comment on peut en arriver à "y(x) est de la forme y(x)=x[c*cos3x+d*sin3x]".

Merci beaucoup, votre investissement pour cette question me parait tres utile.

J'ai compris ! enfin... tout cela s'éclaire un peu.

Au moment de dériver y(x) deux fois, et ceci replacé dans l'équation donnée, par identification j'obtiens un système comprenant encore des x; ceux là toujours présent lorsque je dérive y(x) et que j'utilise la formule (uv)'=u'v+uv'...

Le probleme s'avère donc être ce x facteur dans l'expression de y(x)... d'où vient-il ?

merci beaucoup

Apres mûre reflection personnelle (et necessaire!) j'avais finalement trouvé cette même réponse.
Je suis fière de moi mais aussi très reconnaissante envers l'aide que vous m'avez apporté.

Bonne continuation..; et peut être bonne rentrée (qui sait?)
A une prochaine fois