Optimisation d'un fonction (technique d'optimisation)

Sujet du devoir

Dans certains problèmes thermiques et massique, on doit chercher la distribution f(x) de température (ou de concentration) qui minimise la fonctionnelle suivante :

J(u)= 1/2*∫(du/dx)^2 dx + 1/4*∫(1-u^2)^2 dx
([1,0] sont les bornes d'intégration)

a)Calculer le gradient de la fonctionnelle par rapport à la variable de décision u.

b)Quelle relation doit vérifier u pour minimiser la fonctionnelle? (indice : c’est une équation différentielle)

c)Résoudre l’équation différentielle en supposant que u(1) = u(0) = 0; Est-ce que la solution est un minimum ou un maximum ?

d)Résoudre l’équation différentielle en supposant que u ’(1) = u ’ (0) = 0; Est-ce que la solution est un minimum ou un maximum ?

Où j'en suis dans mon devoir

Je suis bloqué dès la première question, je trouve une équation d'ordre 3 alors que c'est censé être une équation différentielle.
Je trouve : 4u + 4u^3 + d^2u/dx^2
Please help me, au moins juste pour la première question.