Arithmetique maths sup

Publié le 5 mai 2019 il y a 4A par Anonyme - Fin › 8 mai 2019 dans 4A
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Sujet du devoir

Le but de cet exercice est de démontrer l'important théorème suivant qui est 
conjecturé par Fermat et démontré par Euler. 
Théorème : Pour qu'un nombre premier impair puisse s'écrire comme une somme de deux 
carrés parfaits, il faut et il suffit qu'il soit de la forme (4k + 1) (k 2 N). 

(1) En se servant du théorème d'Ibn Al-Haytham, montrer que pour tout nombre premier 
impair p, on a   
                                      \left(p-1/2 \right)!2(-1)p-1/2 +1 \equiv 0\left[p \right] 

(2) En déduire que si p est un nombre premier de la forme (4k + 1) (k 2 N) alors il existe 
a 2 N tel que (a2 + 1) soit un multiple de p. 

(3) Soit p un nombre premier ayant la forme (4k + 1) (k 2 N) et soit a 2 N tel que (a2 + 1) 
soit un multiple de p (l'existence d'un tel a est établie à la question précédente). 
On note par r la partie entière du nombre p et par E l'ensemble : (0.1.....r) 

            (a) Montrer qu'il existe deux couples distincts (x1; y1) et (x2; y2) de E2 pour lesquels les 
deux entiers naturels (x1+ay1) et (x2+ay2) aient le même reste de la division euclidienne 
sur p. 

              (b) En déduire l'existence d'un couple (x0; y0 E2, avec (x0; y0)(0; 0), pour lequel l'un 
des deux entiers (x0 + ay0) et (x0 -ay0) est multiple de p. 

               (c) Montrer qu'un tel couple (x0; y0) vérifie x20 
+ y20 = p. 

(4) Montrer que si un nombre premier p est de la forme (4k + 3) alors p ne peut pas s'écrire 
comme une somme de deux carrés parfaits. 
Conclure. 

Où j'en suis dans mon devoir

Theoreme de wilson ibn alhaytam




1 commentaire pour ce devoir


Anonyme
Anonyme
Posté le 5 mai 2019

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