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Sujet du devoir
Le but de cet exercice est de démontrer l'important théorème suivant qui est
conjecturé par Fermat et démontré par Euler.
Théorème : Pour qu'un nombre premier impair puisse s'écrire comme une somme de deux
carrés parfaits, il faut et il suffit qu'il soit de la forme (4k + 1) (k 2 N).
(1) En se servant du théorème d'Ibn Al-Haytham, montrer que pour tout nombre premier
impair p, on a
\left(p-1/2 \right)!2(-1)p-1/2 +1 \equiv 0\left[p \right]
(2) En déduire que si p est un nombre premier de la forme (4k + 1) (k 2 N) alors il existe
a 2 N tel que (a2 + 1) soit un multiple de p.
(3) Soit p un nombre premier ayant la forme (4k + 1) (k 2 N) et soit a 2 N tel que (a2 + 1)
soit un multiple de p (l'existence d'un tel a est établie à la question précédente).
On note par r la partie entière du nombre p et par E l'ensemble : (0.1.....r)
(a) Montrer qu'il existe deux couples distincts (x1; y1) et (x2; y2) de E2 pour lesquels les
deux entiers naturels (x1+ay1) et (x2+ay2) aient le même reste de la division euclidienne
sur p.
(b) En déduire l'existence d'un couple (x0; y0) E2, avec (x0; y0)(0; 0), pour lequel l'un
des deux entiers (x0 + ay0) et (x0 -ay0) est multiple de p.
(c) Montrer qu'un tel couple (x0; y0) vérifie x20
+ y20 = p.
(4) Montrer que si un nombre premier p est de la forme (4k + 3) alors p ne peut pas s'écrire
comme une somme de deux carrés parfaits.
Conclure.
Où j'en suis dans mon devoir
Theoreme de wilson ibn alhaytam
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