arithmétique spécialité TS

Sujet du devoir

On considère l'équation (1) d'inconnues (n ; m) éléments de Z² :
11n - 24m = 1.
(a) Justifier, à l'aide de l'énoncé d'un théorème, que cette équation admet au moins une solution.
(b) En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution particulière de l'équation (1).
2. Recherche du PGCD de 10^11 - 1 et 10^24 - 1.
(a) Justifier que 9 divise 10^11 - 1 et 10^24 - 1.
(b) (n ; m) désignant un couple quelconque d'entiers naturels solutions de (1), montrer que l'on peut écrire:
(10^11n - 1) - (10^24m - 1) = 9.
(c) Montrer que 10^11 - 1 divise 10^11n - 1 .(on rappelle l'égalité an -1 = (a - 1) (an-1 + an-2 + ... + a0), valable pour
tout entier naturel n non nul). Déduire de la question précédente l'existence de deux entiers naturels N et M tels que :
(10^11 - 1) N - (10^24 - 1)M = 9.
(d) Montrer que tout diviseur commun à 10^11 - 1 et 10^24 - 1 divise 9.
(e) Déduire des questions précédentes le PGCD de 10^11 - 1 et 10^24 - 1

Où j'en suis dans mon devoir

(a) d'après le théorème de Bézout il existe deux réels n et m tels que an - bm = pgcd (a;b) = 1
(b) 24 = 11 x 2 + 2
11 = 2 x 5 + 1
2 = 1 x 2 + 0
d'après l'algorythme d'Euclide 24 et 11 sont premiers entre eux, c'est à dire pgcd (a;b) = 1.