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Sujet du devoir
Bonjour, je suis à la fin de ma quête pour déterminer lim(e^x/(1+1/x)^x^2) quand x->+infini, cependant j'arrive sur cette limite, et même en ayant un peu cherché, je n'ai pas trouvé. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
lim(x(1-x*ln((x+1)/x))) quand x->+infini. Si ça peut vous faire gagner du temps, géo gebra à l'air d'accord pour dire que cette limite est 1/2.
14 commentaires pour ce devoir
Bonjour,
Connais-tu la règle de l’Hôpital? Si oui applique là ..
Sinon, essaye de faire un changement de variable pour faire apparaître un taux d'accroissement.
Je vais essayer ça pour arriver à un limite connue, en espérant que je trouve la bonne variable, du X=1/x pourrait peut-être mener à quelque chose ... Et non, je ne connais pas la règle de l'hôpital.
C'est bon j'y suis arrivé, sans faire de changement de variable juste en arrangeant les termes et en en faisant apparaître de nouveaux tout en les soustrayant ailleurs dans le logarithme népérien,je te passe les jetons car j'ai appris ce qu'étais la règle de l'Hôpital, ça a l'air fort utile.
C'est vraiment pas clair du tout
Si (1+1/x)^(x^2) est un équivalent de e^x alors (1+1/x)^(x^2) tend vers +infini quand x-> +infini
Oui mais ce que je cherche, c'est la limite de e^x divisé par son équivalent ...
D'où sort cet équivalent?
On peut diviser des équivalents donc la limite serait 1, ce qui n'est pas le cas... l'équivalent est faux.
En fait on a (1+1/x)^(x^2) ~ exp(x-1/2) en +inf.
Quand je disais qu'il étaient équivalents je voulais dire par là que le rapport des deux fonctions était une constante en plus l'infini; je me suis mal exprimer.
Le terme d'équivalent est juste et le rapport entre les 2 fonctions à l'infini tend vers 1
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quivalent
Sinon
ln ( (1+1/x)^x^2) = x^2 ln ( 1+ 1/x)
1+1/x tend vers 1 donc ln(1+1/x) ~ 1/x (ca doit être dans ton cours)
Je te laisse terminer
f(x) ~ g(x) <=> lim f(x)/g(x) = 1
f(x) ~ g(x) => x^2.f(x) ~ x^2.g(x)
ln(1+1/x) ~ 1/x
donc x^2.ln(1+1/x) ~ x^2.1/x = x
je pense que ca va t'aider
Il me semble que la limite de geogebra est fausse et ne permettrai pas de montrer l'équivalence que tu cherches
Oui mais c'est plus compliqué que ça car oui ln(1+1/x) est équivalent à 1/x (ln(1+un) équivalent à un en plus l'infini) mais comme on le multiplie par un nombre qui varie (x^2) on peut pas affirmer que la limite de x-xln(1+1/x) est 0 et d'ailleur c'est faux. j'essaie de montrer que x.ln(1+1/x) est un équivalent de x-1/2 pour trouver ce que je recherche.
Ils ont besoin d'aide !
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Salut Fabien
Pour la première il me semble qu'il manque des parenthèses en tout cas l'avant dernier ^ est suspect. Est-ce que ce que tu as écrit correspond bien à l'énoncé ?
Te voilà la formule dites d'une autre manière j'espère que t'arriveras à te le représenter: (1+1/x) à la puissance x au carré
J'ai d'abord montrer que cette limite convergeais en montrant que (1+1/x)^(x^2) était un équivalent de e^x, ensuite j'ai développer le logarithme népérien de cette limite et j'en suis arrivé à la limite que j'ai posté.