Calcul de limite de fonction

Publié le 14 mai 2018 il y a 5A par Anonyme - Fin › 17 mai 2018 dans 5A
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Sujet du devoir

Bonjour, je suis à la fin de ma quête pour déterminer lim(e^x/(1+1/x)^x^2) quand x->+infini, cependant j'arrive sur cette limite, et même en ayant un peu cherché, je n'ai pas trouvé. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

lim(x(1-x*ln((x+1)/x))) quand x->+infini. Si ça peut vous faire gagner du temps, géo gebra à l'air d'accord pour dire que cette limite est 1/2.




14 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Posté le 14 mai 2018

Salut Fabien

Pour la première il me semble qu'il manque des parenthèses en tout cas l'avant dernier ^ est suspect. Est-ce que ce que tu as écrit correspond bien à l'énoncé ?

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

Te voilà la formule dites d'une autre manière j'espère que t'arriveras à te le représenter: (1+1/x) à la puissance x au carré

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

J'ai d'abord montrer que cette limite convergeais en montrant que (1+1/x)^(x^2) était un équivalent de e^x, ensuite j'ai développer le logarithme népérien de cette limite et j'en suis arrivé à la limite que j'ai posté.

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Anonyme
Posté le 14 mai 2018

Bonjour,

 

Connais-tu la règle de l’Hôpital? Si oui applique là ..

Sinon, essaye de faire un changement de variable pour faire apparaître un taux d'accroissement.

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

Je vais essayer ça pour arriver à un limite connue, en espérant que je trouve la bonne variable, du X=1/x pourrait peut-être mener à quelque chose ... Et non, je ne connais pas la règle de l'hôpital.

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

C'est bon j'y suis arrivé, sans faire de changement de variable juste en arrangeant les termes et en en faisant apparaître de nouveaux tout en les soustrayant ailleurs dans le logarithme népérien,je te passe les jetons car j'ai appris ce qu'étais la règle de l'Hôpital, ça a l'air fort utile.

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

C'est vraiment pas clair du tout

Si (1+1/x)^(x^2) est un équivalent de e^x alors (1+1/x)^(x^2) tend vers +infini quand x-> +infini

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

Oui mais ce que je cherche, c'est la limite de e^x divisé par son équivalent ...

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

D'où sort cet équivalent? 

 

On peut diviser des équivalents donc la limite serait 1, ce qui n'est pas le cas... l'équivalent est faux.

 

En fait on a (1+1/x)^(x^2) ~ exp(x-1/2) en +inf.

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

Quand je disais qu'il étaient équivalents je voulais dire par là que le rapport des deux fonctions était une constante en plus l'infini; je me suis mal exprimer.

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

Le terme d'équivalent est juste et le rapport entre les 2 fonctions à l'infini tend vers 1

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quivalent

Sinon

ln ( (1+1/x)^x^2) = x^2 ln ( 1+ 1/x)

1+1/x tend vers 1 donc ln(1+1/x) ~ 1/x (ca doit être dans ton cours)

Je te laisse terminer

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

f(x) ~ g(x) <=> lim f(x)/g(x) = 1

f(x) ~ g(x) => x^2.f(x) ~ x^2.g(x)

 

ln(1+1/x) ~ 1/x

donc x^2.ln(1+1/x) ~ x^2.1/x = x

je pense que ca va t'aider

 

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

Il me semble que la limite de geogebra est fausse et ne permettrai pas de montrer l'équivalence que tu cherches

Anonyme
Posté le 14 mai 2018

Oui mais c'est plus compliqué que ça car oui ln(1+1/x) est équivalent à 1/x (ln(1+un) équivalent à un en plus l'infini) mais comme on le multiplie par un nombre qui varie (x^2) on peut pas affirmer que la limite de x-xln(1+1/x) est 0 et d'ailleur c'est faux. j'essaie de montrer que x.ln(1+1/x) est un équivalent de x-1/2 pour trouver ce que je recherche.


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