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Sujet du devoir
Première Partie :
x^3=2x-5
1) en étudiant les variations d'une fonction , montrer que (E) admet une solution unique a
2 ) donner une valeur approchée de a à l'aide de la formule de Cardan et d'une calculatrice
2eme Partie :
dans cette deuxieme partie , on s'interesse à l'équation :
x^3=51x+104
a) peut on utilisé la formule de Cardan à (E') ?
Or dans cette dernière équation possède une racine réelle presque évidente à savoir x=8 , mais aucune racine réelle ne peut être obtenue par la formule de Cardan
L'idée est de résoudre l'équation à l'aide du nombre imaginaire i
b) montrer que ( 47 i )²=-2209
c) montrer que la formule de Cardan s'écrit formellement :
x=racine (52+47 i ) + racine ( 52-47 i )
( au début de chaque racine il y a une puissance de 3 )
d) calculer ( 4+i)^3 et (4+i)^3
retrouver ainsi la solution évidente 8 annoncée plus haut
e) factorisé pas x^3 -51x-104 par (x-8)
f) achever la résolution x^3 = 51x + 104
Où j'en suis dans mon devoir
Premiere partie .
A ) ...
B) ...
Seconde partie :
A ) ...
B ) Trouver
C) Je ne comprend pas la formule de Cardan
D ) trouver
E ) trouver
F ) ...
5 commentaires pour ce devoir
Pour le A)
Tu étudies les variations de x^3-2x+5 (dérivée et tableau de signe) puis tu cherches le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses afin de résoudre x^3-2x+5 = 0 et tu trouves la solution
après avoir fait ton tableau de variations tu peux en déduire que ta fonction coupe l'axe des abscisses sur l'intervalle ]-oo ; -racine6/3[ ,
car sur ]- racine6/3; +OO [ son minimum est positif (et donc la courbe ne traverse plus l'axe des abcisses)
a = -2.09
Pour la seconde partie
47² = 2209
i² =-1
donc 47 i² =-2209
a) tu ne peux pas utiliser la méthode de cardan, car delta est négatif
on pose x = u+v
u^3 + v^3 + 3 uv (u+v) - 51(u+v) = 104
u^3 + v^3 + (u+v)[ 3 uv - 51] = 104
3 uv – 51 = 0 => uv = 51/3 = 17
on pose U =u^3
V=v^3
d'ou UV = 17^3 = 4913
(formule apprise en 1ère) : X^2 + SX - P =0
on remplace par les valeurs (U + V) et UV
on obtient l'équation X² – 104 X + 4913 = 0
delta = - 8836
X1 = (104 – i racine 8836)/2 = 52 – i *94/2 = 52 - 47i
X2 = (104 +i racine 8836)/2 = 52 + i *94/2 = 52 + 47i
on a posé u^3 =U et v^3 =V
donc
u = racine cubique (52 -47i)
v =racine cubique (52 +47i)
comme on a posé x = u + v (au début)
on a bien
x =racine cubique (52 -47i) +racine cubique (52 +47i)
pour le d)
développe (4 +i)^3 = .....
(4- i)^3 =.....
ton résultat te permet de déduire que
x =racine cubique (52 -47i) +racine cubique (52 +47i) (question précédente)
=> x = (4 +i ) + (4 -i ) = ......
pour le e)
si tu divises x^3 -51 x -104 par (x-8)
tu obtiendras une factorisation de la forme (x-8) (ax^2 +bx +c)
détermine a,b,c a= .... b =...... c=......
pour le f)
tu résous l'équation du 2nd degré obtenue au e)
x^3 =51+104 a donc 3 racines
{ -racine3 -4 ; racine3 -4 ; 8 }
Ils ont besoin d'aide !
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la formule de Cardan sert à résoudre les équation du 3ème degré
x^3= 2x-5
on peut la résoudre en posant x = u + v
tu remplaces x par (u+ v) ce qui donne (u +v) ^3 -2 (u+v)= -5 etc ....
mais dans ton exercice on ne te demande pas un calcul
la courbe de la fonction coupe l'axe des abscisses une seule fois en x0 = -2.09