complexe et suite

Sujet du devoir

Sujet :

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct(O; u;v).On prendra pour unité graphique 5cm.

On pose z0=2 et pour tout entier n, zn+1= ((1+i)zn/2).On note An le point du plan d'affixe zn.

1) Calculer Z1;Z2;Z3;Z4 et vérifier que z4 est un nb réel.Placer les pts A0 A1 A2 A3 et A4 sur une figure.

2)Pour tout entier naturel n, on pose Un=module de Zn
Justifier que la suite (Un) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, Un=2(1/racine de 2)^n

3) A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disques de centre O et de rayon 0.1?

4a)Etablir que, pour tout entier naturel n, (Zn+1-Zn)/(Zn+1)=i.
En déduire la nature du triangle O An An+1

4b)Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2....An-1An.
On a ainsi ln=A0A1+A1A2+...+An-1An.
Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la nature de la suite (ln)? déterminier la limite de la suite (Ln)

Où j'en suis dans mon devoir

1=1+i
Z2=i
z3=(i-1)/2
z4=-1/2

2) J'ai trouvé Un est géométrique de raison 1/racine de 2 est Un=2*(1/racine de 2)^n
pour qu'un point Z soit sur ou dans au disque de rayon 0.1 et de centre 0
alors il verifie
|z| <= 0.1
il te suffit donc de calculer a partir de quel valeur de Zn

module(Zn) inferieur ou egale à 0.1
|Zn|<=0.1
toute les question jusqu'à la Ln= à la somme de Un mais jarive pas à faire la limite