Continuité - Dérivabilité

Sujet du devoir

Soit a un réel strictement positif et f une fonction dérivable sur l’intervalle [0 ; a]
telle que :


1) sa fonction dérivée f' est continue sur [0; a],
2) f (0) = f'(0) = 0
3) f (a) * f' (a) < 0

La fonction f' s’annule-t-elle au moins une fois sur l’intervalle ]0; a] ?

Où j'en suis dans mon devoir

Pour cette démonstration, on utilisera un raisonnement par l’absurde.

On suppose que la fonction dérivée f’ de f ne s’annule pas sur l’intervalle ]0;a]. En effet deux cas sont possibles :

Premier cas : f(a)>0 alors f'(a)<0 car f(a)×f'(a)<0

On sait que f'(0)=0 et que la fonction dérivée f’ de f est continue sur l’intervalle ]0;a]. De plus, on a supposé que la fonction dérivée f’ ne s’annule pas sur l’intervalle ]0;a]. On en déduit que f’ est strictement négative sur l’intervalle ]0;a] ; donc elle est également strictement décroissante sur l’intervalle ]0 ;a].

On a donc f(a)0


Deuxième cas : f(a)<0 alors f'(a)>0 car f(a)×f'(a)<0

On sait que f'(0)=0 et que la fonction dérivée f’ de f est continue sur l’intervalle ]0 ;a]. De plus, on a supposé que la fonction dérivée f’ ne s’annule pas sur l’intervalle ]0 ;a]. On en déduit que f’ est strictement positive sur l’intervalle ]0 ;a] ; donc elle est également strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;a].
On a donc f(a)>f(0)=0 ce qui contredit f(a)<0