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Sujet du devoir
Bonsoir , voila déjà quelques jours que je suis sur mon DM de mathématiques mais voilà.. je n'ai pas l'impression d'avancer. En effet , il est question de démonstration par récurrence et j'ai du mal avec l'hérédité.
Voici l'énoncé :
On considère la suite (Un) définie par U0 = 1 et ,pour tout nombre entier naturel n , Un+1= √Un+2
1. Calculer U1 , U2 et U3
2. Démontrer par récurrence que,pour tout entier naturel n, 0<Un<2
3. Démontrer par récurrence que,pour tout entier naturel n, Un<Un+1
4. En déduire alors le sens de variation de la suite (Un)
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai déjà fait ceci :
1. U1 = √1+2 =√3
U2 = √(√(3)+2)
U3 =√(√√(3) + 2) + 2)
2. Initialisation :
Si 0<Un<2 alors U0=1 donc 0<1<2 donc p(n) vraie
Hérédité :
Supposons qu'il existe un entier naturel n fixé n1 tel que P(n) vraie
Soit alors : 0<Un<2
Démontrons alors que P(n) implique P(n+1) vrai
Soit alors :
et c'est ici que je bloque .. soit les questions 2 et 3 ; quelqu'un pourrait-il m'aider SVP? Merci d'avance :)
2 commentaires pour ce devoir
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Pour la suite de la question2:
Utilise l'HR: 0<Un<2
Donc 2<Un+2<4
Puis on composant par racine strictement croissante sur R+:
sqrt(2)<sqrt(Un+2)<sqrt(4)
Donc tu as bien 0<Un+1<2
Bonsoir,
Donc cela donne :
demontrons alors que p(n) implique p(n+1)
Soit alors p(n+1) = √un+2
2<un+2<4
√2<√un+2<√4
donc 0<un+1<2 donc p(n+1) Vraie
conclusion : la pour tout n entier,p(n) est vraie ?
Et j'aimerais aussi de l'aide pour le 3. s'il vous plait soit : demontrer que un<un+1