Des puissances dans une suite

Sujet du devoir

Bonjour, je suis perdu sur un DM de Spe Maths et ai besoin d'aide.

On considère la suite arithmétique (un) de premier terme u0=4 et de raison r=23.

1.a) Vérifier qu'un de ses termes est un carré, qu'un de ses termes est un carré, qu'un autre est un cube, que le 28e terme est une puissance quatrième d'un entier.

b) Démontrer qu'aucun des termes de la suite n'est une puissance de 1, ni de 22.

Soit p un entier naturel positif et k un entier quelconque.

2.a) Justifier que pk≡(p+23)k [23]

b) En déduire que si, pour p=2,3,...,21, pk n'est jamais congru à 4 modulo 23, aucun des termes de la suite n'est une puissance kième d'un entier.

3) Soit rk les restes dans la division de pk par 23. Justifier que rk+1≡rk*p [23].

Merci de votre aide.

Où j'en suis dans mon devoir

1.a) u0=4 et √4=2 donc il existe un carré; u1=27 et 27=33 ou 271/3 =3 donc il existe un cube; u27=625 et 625=54 ou 6250.25=5 donc le 28e terme est une puissance quatrième d'un entier.