Devoir Maison: Logarithme Néperien

Publié le 14 janv. 2010 il y a 9A par bobor - Fin › 16 janv. 2010 dans 9A
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Sujet du devoir

Partie A:
Soit D la fonction définie sur [2;20] par :
D(x) = x - 2 - 2 ln (x)
a. Étudier les variations de la fonction D et dresser son tableau de variation.
b. Montrer que la fonction D s'annule exactement une fois sur [2;20]. Indiquer la valeur arrondie à une décimale de ce nombre.
c.En déduire le signe de la fonction D sur [2;20] et récapituler les résultats dans un tableau.


Partie B:
Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
Les unités graphiques étant 1 cm dans l'axe des abscisses et 5cm sur l'axe des ordonnées.
Soit f la fonction définie sur ]2;20] par :
f (x) = x ln (x) / x-2

C désigne la courbe représentative de la fonction f.

a. Montrer que la dérivée f' de f a le même signe que D, sur ]2;20]. Étudier les variations de f, déterminer la limite de f en 2, puis dresser le tableau de variations.
b. Prouver qu'il existe un unique point de la courbe C, où la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.
c. Tracer la courbe C.

Partie C:
Soit g :[2; 20]→|R
x:→ 1/2x² -2x ln (x)
1. Montrer que g est une primitive de D sur [2; 20].
2. Soit I le nombre défini par : I= ∫20 16 D(x)dx
a. Exprimer le nombre I uniquement à l'aide de nombres entiers et des deux nombres ln 2 et ln 5
b. Donner la valeur de I arrondie à deux décimales



Où j'en suis dans mon devoir

Partie A, je l'ai déjà finie.
Partie B, sur la dérivée je na sais pas comment faire pour connaitre le signe. je trouve f'(x)= (-x+2+2 ln(x))/(x-2)²



11 commentaires pour ce devoir


tdrcau
tdrcau
Posté le 14 janv. 2010
il faut que tu remarques que ta dérivée peut aussi s'écrire:
f'(x) = -D(x) / (x-2)²

donc f'(x) a le signe opposé de celui de D(x) et tu utilises le résultat de la question 1.c)
bobor
bobor
Posté le 14 janv. 2010
Merci!
Mais pour le signe du dénominateur, je l'utilise comme un polynôme ou je fais le signe de (x-2)??? J'ai un doute!
Vrishnak
Vrishnak
Posté le 14 janv. 2010
le signe de (x-2)² est + ,, c est un carré ....
bobor
bobor
Posté le 14 janv. 2010
Mais pour le signe du numérateur de ma dérivée, je ne vois pas comment faire!!!
tdrcau
tdrcau
Posté le 14 janv. 2010
peux-tu nous donner les résultats de la question 1.c) stp pour qu'on puisse t'expliquer la suite? merci
bobor
bobor
Posté le 14 janv. 2010
D(x)<0 sur [2;5,4] et D(x)> sur [5,4 ; 20] !!!
tdrcau
tdrcau
Posté le 14 janv. 2010
donc comme ta dérivée c'est f'(x) = -D(x)/(x-2)² alors ça veut dire que quand D(x)>0 (donc pour x appartenant à [ 2 ; 5,4 ]) alors f'(x)<0 donc f est décroissante

par-contre je viens de m'apercevoir que ton énoncé indique que f' doit avoir le même signe que D, vérifie ta dérivée stp, tu t'es peut-être trompé!
bobor
bobor
Posté le 14 janv. 2010
Oui effectivement, je me suis trompée dans mon calcul de dérivée, je l'ai refait et je trouve: -x -2 -2 ln(x)/ (x-2)²
Alors j'aurais besoin d'aide pour le calcul de limite!
tdrcau
tdrcau
Posté le 14 janv. 2010
bon, comme je trouvais des incohérences dans tes réponses (car tu dis que tu as refait la dérivée mais tu m'écris la même mauvaise réponse qu'avant) j'ai refait le début, et pour la dérivée de f il faut trouver f'(x) = (x-2-2lnx)/(x-2)² donc le numérateur correspond bien à D(x)

le problème de signe doit venir d'une erreur dans ta formule de la dérivée: (u/v)'=(u'v-uv')/v² (t'as dû faire uv'-u'v, non?)
bobor
bobor
Posté le 15 janv. 2010
Oui c'est parce que j'ai oublié de marquer les parenthèses, et je trouve bien -(x-2-2ln(x)).
Pour le calcul de limite, j'utilise la méthode de composition ou je remplace 2 dans la fonction, j'hésite!
tdrcau
tdrcau
Posté le 15 janv. 2010
Pour le calcul de limite, j'utilise la méthode de composition ou je remplace 2 dans la fonction, j'hésite!


>> ni l'un ni l'autre, tu détermines la limite du numérateur, du dénominateur et tu trouves la limite de f(x) par quotient (bon, c'est peut-être ça ce que tu entends pas "composition" mais la composition en maths, c'est autre chose)

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