Devoir Maison: Logarithme Néperien

Sujet du devoir

Partie A:
Soit D la fonction définie sur [2;20] par :
D(x) = x - 2 - 2 ln (x)
a. Étudier les variations de la fonction D et dresser son tableau de variation.
b. Montrer que la fonction D s'annule exactement une fois sur [2;20]. Indiquer la valeur arrondie à une décimale de ce nombre.
c.En déduire le signe de la fonction D sur [2;20] et récapituler les résultats dans un tableau.


Partie B:
Le plan est rapporté à un repère orthogonal.
Les unités graphiques étant 1 cm dans l'axe des abscisses et 5cm sur l'axe des ordonnées.
Soit f la fonction définie sur ]2;20] par :
f (x) = x ln (x) / x-2

C désigne la courbe représentative de la fonction f.

a. Montrer que la dérivée f' de f a le même signe que D, sur ]2;20]. Étudier les variations de f, déterminer la limite de f en 2, puis dresser le tableau de variations.
b. Prouver qu'il existe un unique point de la courbe C, où la tangente à la courbe en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.
c. Tracer la courbe C.

Partie C:
Soit g :[2; 20]→|R
x:→ 1/2x² -2x ln (x)
1. Montrer que g est une primitive de D sur [2; 20].
2. Soit I le nombre défini par : I= ∫20 16 D(x)dx
a. Exprimer le nombre I uniquement à l'aide de nombres entiers et des deux nombres ln 2 et ln 5
b. Donner la valeur de I arrondie à deux décimales

Où j'en suis dans mon devoir

Partie A, je l'ai déjà finie.
Partie B, sur la dérivée je na sais pas comment faire pour connaitre le signe. je trouve f'(x)= (-x+2+2 ln(x))/(x-2)²