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Sujet du devoir
Le plan (P) est muni d'un repère orthonormé R = (O;i;j), d'unité 4 cm. On pose I = [0;+∞[.
Partie A. On appelle f0 et f1 les fonctions de courbes représentatives respectives (C0) et (C1), définies sur I par : f0(x) = e^(-x) et f1 = xe^(-x)
1. Etude de la fonction f1.
a) Déterminer le limite de f'1 en +infini.
b) Etudier le signe de f'1 sur I et dresser le tableau de variations de f1.
2. Vérifier que pour tout x de I : f'1 (x) = f0(x)-f1(x)
3. Soit xappartenant à I, on appelle M0 et M1 les points de (C0) et (C1) d'abscisse x. Déterminer suivant les valeurs de x les positions relatives de (C0) et (C1).
4. Les graphiques
a) Comment peut-on construire (C0) à partir de la courbe d'équation (y=e^x) ?
b) Placer les points de (C1) d'abscisses 0,1 et 2 en précisant les tangentes à C1.
c) Tracer C1.
Partie B. On se propose de fabriquer, à la suite de f0 et f1, des fonctions dérivables sur I et satisfaisant aux conditions : f'n(x) = fn-1(x)-fn(x) et fn(0) = 0 pour tout x de I et tout n appartenant à N*.
1. On pose, pour tout x de I, gn(x) = fn(x)e^x, cad, fn(x) = gn(x)e^-x
a) Calculer f'n(x) en fonction de gn(x) et g'n(x).
b) Montrer que fn satisfait aux conditions si et seulement si : g'n(x) = e^xfn-1(x) et gn(0) = 0 pour tout x de I et tout n appartenant à N*.
2. Notons n! = 1x2x3x...xn, pour tout n apparenant à N*, et 0! = 1
a) Calculer g'2(x) puis g2(x) ^pour tout x appartenant à I.
b) En déduire f2(x)
c) Montrer par récurrence que pour tout x de I et tout n appartenant à N* : fn(x) = (x^n/n!)*e^-x
Partie C. Soit a un élément non nul fixé dans I. Pour tout entier naturel n,, on pose In(a) = ∫a0fn(x)dx où fn est la fonction définie dans la seconde partie.
1. Calculer I0(a).
2. En utilisant les conditions, montrer que, pour tout n plus grand ou égal à 1 : In(a)-In-1(a)=)-a^n/n!)*e^-a
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai essayé du mieux que je pouvais jusqu'à la partie B, mais je ne suis que très peu sure de ma partie A. J'ai réellement du mal et je n'arrive pas à avancer.
J'ai besoin d'aide s'il vous plaît.
Voici le DM en pièce jointe avec la fin de la partie C.
Je vous remercie d'avance.
1 commentaire pour ce devoir
Ils ont besoin d'aide !
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Bonjour, pas de panique! Je te mets sur la piste pour la partie A...
1.a) Utilises la propriété de "croissance comparée", en gros dans ta forme indéterminée inf*0, la limite de l'exponentielle "à la priorité" car la fonction croit bcp plus vite...
b) Pour les études de signes, ramènes toi dès que tu le peux à une forme factorisée, c'est ce qui t'aidera à poursuivre. N'oublie pas aussi que la fonction exp est par définition str positive. Tu peux en déduire immédiatement les variations de f1.
2. Essaie de factoriser le terme de droite... Rappel: exp(-x)=1/exp(x)
3. Les positions relatives de deux fonctions f et g s'obtiennent en se demandant quelle courbe est au dessus de l'autre... (mathématiquement résoudre f>=g, ...) C'est une méthode générale!
4.a) Si je te demande de tracer le graphe d'une fonction f(-x), si tu connais celui de f(x), tu me dis? Ce qui change graphiquement c'est la lettre -x qui remplace le x. x et -x sont opposés, n'y aurait-il pas alors une quelconque symétrie des images?
Voila bon courage... Si tu vois ce message, j'aviserais pour la partie B. Mais je te laisse déjà réfléchir à tout ca.