Devoirs Maison sur les Fonctions et les suites

Sujet du devoir

PARTIE A

On appelle f et g les deux fonctions définies sur l'intervalle [0;+oo[ par:
f(x) = ln(1+x)-x et g(x) = ln(x+1)-x + (x² / 2 )

En étudiant les variations de deux fonctions convenablement choisies, démontrer que pour tout x , x > ou = à 0 , x-(x²/2) < ou = à ln(1+x) < ou = à x

PARTIE B

Dans cette partie, on se propose d'étudier la suite (Un)de nombre réels définie par :
U1 = 3/2 et Un+1 = Un(1+(1/2^n+1))
On admet que pour tout entier naturel n non nul, Un > 0.

1/ Démontrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que :
Pour tout entier naturel n, n> ou = 1, lnUn = ln(1+(1/2))+ln(1+(1/2²))+...+ ln(1(1/2^n))

2) On pose Sn = (1/2)+(1/2²)+(1/2^3)+...+(1/2^n)
et
Tn= (1/4)+(1/4²)+(1/4^3)+...+(1/4^n)

a/ En utilisant les résultats de la partie A, démontrer que pour tout entier naturel, n> ou = à 1

Sn- 1/2 Tn < ou = à ln Un < ou = Sn

b/ Calculer Sn et Tn en déduire la Lim Sn quand n tend vers +oo et la Lim Tn quand n tend vers +oo

3/ Etude de la convergence de la suite Un

a/ Démontrer que Un est strictement croissante en déduire que Un est convergente

b/ On admet le résultat suivant: si deux suites Vn et Wn sont convergentes et telles que Un < ou = Vn pour tout entier naturel n alors Lim Un quand n tend vers +oo < ou = à Lim Vn quand n tend vers +oo

Démontrer que si Lim Un quand n tend vers +oo = l
alors 5/6 < ou = ln l < ou = 1

En déduire un encadrement de l.

Où j'en suis dans mon devoir

Etude des sens de variations ?
En déduire ?
Je ne comprend pas du tout cet exercice.
Sn et Tn sommes des termes consécutifs d'une suite géométrique ?
Techniques à utiliser ?
Merci pour votre aide