Dm sur les suites et les exponentielles

Sujet du devoir

but : demontrer que (E) e^x = 1/x

PARTIE A :
On note f la fonction définie sur R par F(x)= x-e^x .
1) Démontrer que x est solution de l’équation (E ) si et seulement si, f(x)=0.
a) Etudier le sens de variation de la fonction f sur R .
b) En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur R, notée alpha.
c) Démontrer que alpha appartient à l’intervalle [ (1/2);(1)]
d) Etudier le signe de f sur [0 ; alpha].

PARTIE B :
On note g la fonction définie sur [0 ;1] par g(x)= (1+x)/(1+e^x)
1) Démontrer que l’équation f(x)=0 est équivalente à l’équation g(x)=x.
2) En déduire que  est l’unique réel vérifiant g(alpha)=alpha.
3) Calculer g’(x) et en déduire que la fonction g est croissante sur [0 ;alpha].

PARTIE C :
On considère la suite ( Un ) définie par U0 = 0 et pour tout entier naturel n, U(n+1)= (1+Un)/(1+e^Un)
1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
0 2) En déduire que la suite (Un) est convergente. On note "L" sa limite.
3) Justifier l’égalité g(L)=L. En déduire la valeur de L.
4) A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de U4 arrondie à la sixième décimale.

Où j'en suis dans mon devoir

j'ai fait la partie A et la partie B ; Je bloque sur la première question de la partie C et du coup je ne peux plus avancer dans l'exercice car les autres questions son liés à celle-ci.