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Sujet du devoir
(E): y'+y=e^-x1) Montrer que la fonction u définie sur l'ensemble des nombres réels R par u(x)=xe^-x est une solution de l'équation différentielle (E)
2) On considère l’équation différentielle (E'): y'+y=0. résoudre l'équation différentielle (E').
3)Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est une solution de l'équation différentielle (E)si et seulement si la fonction v-u est solution de l'équation différentielle (E).
4)En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
5) Déterminer l'unique solution g de l'équation différentielle (E) telle que g(0)=2.
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai déjà fait la question 1 et 21) J'ai remplacer y par xe^-x et je trouve bien e^-x.
2) Je trouve y(x)=Ke^-x
Mais après la 3 je n'y arrive pas et la 4 et 5 découlent de la 3). Merci de votre futur aide.
18 commentaires pour ce devoir
Tout d'abord merci de me répondre malgré l'heure.
Si v-u est solution de (E') donc (v-u)'+(v-u)= 0 alors v'-u'+v-u=0
Si v-u est solution de (E') donc (v-u)'+(v-u)= 0 alors v'-u'+v-u=0
Mais comment je remonte au système ?
Ah oui Or on sait que u est solution de (E) donc u'+u = e^-x
Donc v'+v-(u+u')=O
v'+v-e^-x=0
v'+v=e^-x
Donc v est solution de (E) c'est ça ?
Donc v'+v-(u+u')=O
v'+v-e^-x=0
v'+v=e^-x
Donc v est solution de (E) c'est ça ?
Oui c'est bien :)
Pouvez vous m'aider pour la 4)? ça doit être simple mais ce soir j'y arrive pas ..
On pose h = v-u.
on a vu que v est solution de (E) <==> h solution de (E')
donc v est solution de (E) <==> v(x) = h(x) + u(x) tel que h est solution de (E')
et d'après la question 2) tu as montré que h solutions de (E') est sous forme h(x) = Ke^-x
donc v solution de (E) <==> v(x) = Ke^-x + ...
on a vu que v est solution de (E) <==> h solution de (E')
donc v est solution de (E) <==> v(x) = h(x) + u(x) tel que h est solution de (E')
et d'après la question 2) tu as montré que h solutions de (E') est sous forme h(x) = Ke^-x
donc v solution de (E) <==> v(x) = Ke^-x + ...
v(x)=Ke^-x+u(x) ? Mais je ne comprends ça correspond à toutes les solutions ?
pas*
oui v(x) = Ke^-x + xe^-x = (K+x)e^-x
ce sont les solutions de (E)
5) g est une solution donc s'écrit sous forme g(x) = ...
puisque on a g(0) = 2 donc K = ..
d' où g(x) = ...
ce sont les solutions de (E)
5) g est une solution donc s'écrit sous forme g(x) = ...
puisque on a g(0) = 2 donc K = ..
d' où g(x) = ...
J'ai trouvé g(x)=2^-x.
Mais je ne comprends pas la 4. Au départ je pensais que toutes les solutions c'était toutes les fonction dérivable et définie sur R..
Mais je ne comprends pas la 4. Au départ je pensais que toutes les solutions c'était toutes les fonction dérivable et définie sur R..
non, g(x) = (2+x)e^-x
pour la 4) non, c'est pas toutes les fonctions dérivables et définies sur R !! ( les solutions doivent être des fonctions dérivables et définies sur R mais pas toute fonction qui rempli cette condition est une solution de (E))
par exemple f(x) = x^2 n'est pas une solution de (E) même si c'est bien une fonction dérivable et définie sur R.
pour la 4) non, c'est pas toutes les fonctions dérivables et définies sur R !! ( les solutions doivent être des fonctions dérivables et définies sur R mais pas toute fonction qui rempli cette condition est une solution de (E))
par exemple f(x) = x^2 n'est pas une solution de (E) même si c'est bien une fonction dérivable et définie sur R.
C'est bon j'ai comprit la 4) :D. Mais pour la 4 je trouve K=2 comment trouvez vous (2+x) ?
oui c'est bien K=2
et on a g a la forme des solutions v de (E) : v(x) = Ke^-x + xe^-x = (K+x)e^-x
donc g(x) = (K+x)e^-x = (2+x)e^-x (car K=2)
tu as compris?
et on a g a la forme des solutions v de (E) : v(x) = Ke^-x + xe^-x = (K+x)e^-x
donc g(x) = (K+x)e^-x = (2+x)e^-x (car K=2)
tu as compris?
Oui merci, vous m'avez bien aidé ! Merci d'avoir passer du temps pour m'expliquer :D ! Je vous souhaite un bon début de journée :D !
passé*
De rien. bonnes vacances
Merci à vous aussi.
Ils ont besoin d'aide !
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3) on va montrer la double implication ( si et seulement si ).
==>) ( dans le sens direct )
soit u et v deux solution de (E) donc:
v'+v=e^-x
u'+u=e^-x
on fait la différence ( 1ere ligne - la deuxième ):
v' - u' + v - u = 0
donc (v-u)' + (v-u) = 0
donc v-u est solution de (E')
<== sens inverse :
continues...