étude d'une fonction logarithme

Sujet du devoir

bonjour à tous,voici l'énoncé et mes resultats
f est la fonction définie sur l'intervalle [0;+linfini[ par :

f(x) = x ln ( 1 + (1/x²) ) si x > 0

et f(x) = 0 si x = 0

C est la courgbe représentative dans un repère orthonormal.

A. Etude d'une fonction auxilliaire.

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; + linfini[ par g(x) = ln ( 1 + (1/x²) ) - 2 / (x² + 1 )


1) a) Determiner la fonction dérivée de g
je trouve (2*(x^2-1))/(x*(x^2+1)^2)

b) Etudier le signe de g'(x) selon les valeurs de x
j'ai g'x négative si x appartient a ]O,1[
positive si x appartient à ]1, + infini[

2) Etudier les limites de g en 0 et en + linfini
en o j'ai plus l'infini
en + l'infini j'ai 0

3) a) Dressser le tableau de variation de g
b) En déduire qu'il éxiste un unique nombre réel alfa > 0 tel que g(alfa) = 0 . Vérifier que 0.5 < alfa < 0.6
j'ai utiliser le th des valeurs intermédiaires et j'ai trouvé que alfa appartient à l'intervalle O;1 j'ai vérifié en calculant g(0,5) et g(0,6) qui sont respectivement positive et négative

4) Determiner le signe de g(x) sur l'intervalle ]0 ; +linfini[
j'ai positif sur O;alfa
j'ai négatif sur alfa plus l'infini

B- Etude de la fonction

1) Montrer que pour tout x de ]0 ; + linfini ( , f'(x) = g(x).
j'obtiens f'(x)= -ln+1+x²ln+x²/x² donc pas du tout g(x)
car j'ai dit que f'(x)=( x ln)'* ( 1 + (1/x²) )+x ln *( 1 + (1/x²) )'
et que ( x ln)'= ln+1
et que ( 1 + (1/x²) )'= -2/x^3

En déduire les variations d f sur ]0 ; + linifini [
pour cette question comme f'(x)=g(x) elle a le meme signe je reprend donc les résultats de la partie A

voila je n'ai pas traité la suite du problème pour l'instant mais je mets quand meme l'énoncé

2) a) Etudier la limite de xf(x) lorsque x tend vers + linfini
( on pourra poser h = 1/x² )
/
b) En déduire que f(x) tend vers 0 quand x tend vers + linfini.
/
3) Etude de f en 0

a) Montrer que pour x > 0 , f(x) = xln ( x² + 1 ) - 2 x lnx

b) En admettant le résultat lim (xlnx) = 0 lorsque x tend vers 0 , expliquer pourquoi la fonction f est continue en 0 .

c) Etudier la dérivabilité de f en 0. Préciser la tangente à la courbe C au point O.


4) a) Montrer que f(alfa) = 2 alfa / ( alfa² + 1 )

b) Obtenir un encadrement de f(alfa) à partir de l'encadrement 0.5 < alfa < 0.6

aidez moi pour la suite svp

Où j'en suis dans mon devoir