Exercice de spécialité math en TS

Publié le 9 févr. 2010 il y a 9A par razyne - Fin › 23 mars 2010 dans 9A
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Sujet du devoir

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O;u;v) d'unité graphique 1 cm.
On considère l'application f du plan dans lui meme qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que :
z'= -(sqrt(3)+i)z - 1+i(1+sqrt(3))

sqrt = racine

µ est le point d'affixe i.

1) Soit M0 le point d'affixe z0= (sqrt(3)/4)+(3/4)i
Calculer µM0 et donner une mesure en radians de l'angle (u;µM0)
2) On considère la suite de points Mn définir, pour tout entier naturel n, par Mn+1=f(Mn). On note zn l'affixe du point Mn.
a) Placer les points µ, M0, M1, M2, M3, M4.
b) Montrer par récurrence, pour tout entier naturel n , l'égalité : zn -i = 2^n e^(i(7nPI/6)) (z0-i).
c) Pour tout entier naturel n, calculer µMn, puis déterminer le plus petit entier n tel que µMn >= 10^2

3) On considère l'équation (E) : 7x-12y=1 où x et y sont deux entiers relatifs.
a) Après avoir vérifié que le couple (-5;-3) est solution, résoudre l'équation (E).
b) Soit Delta l'ensemble des points M du plan d'affixe z telle que Im(z)=1 et Re(z)>=0.
Caractériser géométriquement Delta et le représenter.
c) Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que Mn appartienne à la demi droite d'origine µ dirigée par le vecteur u. Préciser son plus petit élément .

Où j'en suis dans mon devoir

Et bien je pense avoir trouver la mesure en radian de la question 1 : PI/3, j'ai tout simplement calculer le module.
Ensuite j'ai fait la question 2)a) et à partir de là je nage complétement. Pourriez-vous m'aider ?

Merci



2 commentaires pour ce devoir


spawnisback
spawnisback
Posté le 15 févr. 2010
2)b) Pour n=0, on a bien l'égalité.
Supposons qu'elle soit vraie au rang n.
zn+1 -i = -(sqrt(3) +i)zn -1+i(1+sqrt(3))-i=
-(sqrt(3)+i)zn-1+isqrt(3)
Or sqrt(3)+i=2e(ipi/6) et -1+isqrt(3)=-2e(-ipi/3)
donc zn+1 -i = -2e(ipi/6)zn-2e(-ipi/3)=-2e(ipi/6)(zn+e(-ipi/2))=
-2e(ipi/6)(zn-1)
On utilise alors la relation de récurrence zn et on conclut.
c)uMn=2^nlz0-il = 2^n * 1/4
il faut résoudre 2^n>4*10^2 donc n > 4*10^2/ln2
AntonBast
AntonBast
Posté le 4 mars 2010
bah b) tu regardes en 0 si ça marche, z0 tu l'as et la formule aussi.
Puis tu suppose que ça marche en n , t'as donc zn.
Alors tu calcule zn+1 - i = f(zn) - i et tu regarde si ça donne bien 2^(n+1) e^(i(7(n+1)PI/6)) (z0-i).
Mais ça à l'air calculatoire, j'espère que les calculs se feront facilement. Bon courage.

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