Exercice Fonction Exponentielle

Sujet du devoir

Cf BAC S Asie juin 2013)
Exercice 2 les Fonctions exponentielles
On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par :
f(x)=e^x  e tg(x)=1–e^−x.
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement Cf et Cg, sont fournies en annexe.
Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l’annexe.
Partie B
Dans cette partie, on admet l’existence de ces tangentes communes.
On note D l’une d’entre elles. Cette droite est tangente à la courbe Cf au point A d’abscisse a et tangente à la courbe Cg au point B d’abscisse b.
a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A.
b. Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B.
c. En déduire que b=–a.
Démontrer que le réel a est solution de l’équation
2(x–1)ex+1=0.
 Partie C
On considère la fonction φ définie sur R par
φ(x)=2(x−1)ex+1.
1a. Calculer les limites de la fonction φ en −∞ (1) et +∞.(+∞)
b. Calculer la dérivée de la fonction φ (2xe^x) , puis étudier son signe. (j'ai fait une tableau de signe et j'ai trouvé négative de - infini à 0 et positive de 0 à +infini)
 c. Dresser le tableau de variation de la fonction φ sur R. Préciser la valeur de φ(0)(-1)

2a. Démontrer que l’équation φ(x)=0 admet exactement deux solutions dans R(j'ai bien trouvé cela grâce a mon tableau de signe)

b. On note α la solution négative de l’équation φ(x)=0 et β la solution positive de cette équation. À l’aide d’une calculatrice, donner les valeurs de α (=environ -1,67) et β (=environ 0,77)arrondies au centième.

Partie D
Dans cette partie, on démontre l’existence de ces tangentes communes, que l’on a admise dans la partie B.
On note E le point de la courbe Cf d’abscisse α et F le point de la courbe Cg
d’abscisse −α (α est le nombre réel défini dans la partie C).
A°Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe Cf au point E

B°Démontrer que (EF) est tangente à Cg au point F
Travail fait mais.....
je bloque dans la dernière partie c'est-à-dire la partie D.
J'ai essaye de calculer le coefficient directeur de la droite (EF)
Calcul du coefficient directeur d'une droite (EF) non parallèle à l'axe des ordonnées : a=yF-yE/xF-xE
d'où f'(α )=(1-2e^α )/-2α 
Or α est solution de l'équation de le question 2 de la partie B
d'où 2(α -1)e^α +1=0  ce qui revient à 2α e^α -2e^α +1=0
Après cela je ne sais plus par quelle chemin passé! Aidez moi svp !
J'aimerais des explications.
 

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai énormément avancé dans mon devoir mais je suis restée bloquée sur la partie D

J'ai calculé l'équation da la tangente à Cf au point E d'abscisse a et j'ai obtenu e^ax-ae^a+e^a.

Après cela, je ne sais plus quoi faire.