Exercice Intégrales

Sujet du devoir

Bonjour,

Matière / Niveau: Term S

Bonjour à tous,
Voilà je m'entraine sur des exercices, et en voici-un pour lequel, je rencontre des problèmes, c'est sur les intégrales. Et je ne comprend pas grand chose. Alors si quelqu'un pouvait me donner quelques explications, afin que je puisse un peu comprendre.

On considère la fonction carrée sur l'interaller [0;1] notée f et représentée par la courbe C.
On veut calculer l'aire sous la courbe C, c'est çà dire l'aire de la surface S comprise entre m'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation x=1
On partage l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur (1/n).
On construit alors sur ces intervalles n rectangles intérieurs à la surface S (en gris sur le dessin) et n rectangles qui contiennent S (aux contours rouges sur le dessin).
On note Un la somme des aires de la prmière famille de rectangles et Vn la sommes des aires de la deuxieme famille

1. Montrer que Un=1/(n3) [0²+1²+...+(n-1)²] = 1/(n3) En-1 k=0 k²
et Vn = 1/(n3) [1²+2²+ ...+n²] = 1/(n3) En k=1 k²

2. Montrer par récurrence que En k=1 k² = (n(n+1) (2n+1)) / 6
En déduire de nouvelles expressions des termes Un et Vn

3. Montrer que les deux suites sont adjacentes et calculer leur limite commune. En déduire une définition de l'aire de la surface S.

4. Déterminer une fonction constante g définie sur l'intervalle [0;1] telle que l'aire sous sa courbe R soit égale à l'aire de la surface S.4

( Le E aux questions 1 et 2, représente le E grec, qui indique qu'il s'agit d'une somme.)

Où j'en suis dans mon devoir

Alors, je pense réussi la question 1, je le posterais ici, quand j'aurais avancer dans les autres questions, mais pour cela j'ai vraiment besoin d'une aide. Merci d'avance à tous pour votre aide, et vos explications.