Exercice sur les equations differentielles

Publié le 6 janv. 2010 il y a 13A par Anonyme - Fin › 8 févr. 2010 dans 12A
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Sujet du devoir

bonsoir!
j'ai un dm de math pour la semaine prochaine, et je bloque sur les equation differentielles. L'exercice porte sur l'étude d'une population de rongeurs. La taille de la population au temps t est notée g(t).
le fonction g est définit sur [0, +inf[
l'unité de g(t) est la centaine de rongeurs, et le temps est en années.

1/ etude en laboratoire:
(E1): y' = (1/4)y
a/ resoudre (E1)
b/ determiner g lorsque g(0) = 1 (1 = cent individus)
c/ au bout de combien de temps la population depasse 300

2/ en realité, un prédateur empeche une telle croissance.
on note u(t) le nombre de rongeurs vivant au temps t.

(E2): {u'(t) = (1/4)u(t) - (1/12)(u(t))² ; u(0) = 1}
u' dérivée de u

a/ on a u(t) > 0 (car t > 0)
sur [0; +inf[, la fonction h définie par h = 1/u
démontrer que u satisfait les condition de (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions:

(E3): {h'(t) = (-1/4)h(t) + 1/12 ; h(0) = 1}
ou h' dérivée de h

b/ donner les solutions de l'equation differentielle y' = (-1/4)y + 1/12
en deduire l'expression de h, puis celle de u

c/ dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population lorsque t tend vers +inf

merci de m'aider!

Où j'en suis dans mon devoir

alor, j'ai fait le 1/ mais je ne suis pas sur, si vous pouviez juste me confirmer:

1/ (E1): y' = (1/4)y

a/ a = 1/4, donc S = {f(x):x-> C e^((1/4)x), c apartien a R}

b/ g(0) = 1 xo = 0, yo = 1

1 = Ce^((1/4)*0)
1 = Ce^(0)
c = 1

donc g(t) = e^((1/4)t)

c/
g(t) = 3
e^((1/4)t) = 3
(1/4)t = log(3)
t = 4log(3)
t = 1,9 ans

voila,
apres pour le 2 je ne comprend pas commet faire



3 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Posté le 6 janv. 2010
il faut que tu poses
y = C.e^(k.x)

y'=C.k.e^(k.x)
donc
C.k.e^(k.x)=C.e^(k.x)/4
donc k=1/4

ensuite puisque g(0)=1 alors tu peut trouver C
C=g(0)/e^(0/4) = 1/e^(0) = 1/1=1

g(x) = e^(x/4)

g(t)=3 -> 3=e(t/4)^---> ln 3 = t/4 ----> t= ln(3)*4=4.39

Attention c est pas log mais ln


Anonyme
Posté le 6 janv. 2010
ln x c est la reciproque de e^x
log x la reciproque de 10^x
Anonyme
Posté le 6 janv. 2010
question 2.a/
tu remplaces u par 1/h dans (E2)
tu bibouilles, tu bidouilles...
et tu arrives alors à transformer (E2) en (E3)

2.b/
(E3) est d'une forme que tu sais résoudre, tu résous et tu trouves h(x) = ...
tu as h(x) dont tu peux revenir à u(x)

2.c/
c'est juste un calcul de limite à partir de l'expression de u(x)

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