Exercices probabilités

Sujet du devoir

Voilà, je m'entraine pour des exercices pour le bac et au vu de mon interrogation sur les probabilités. Voici trois exercices que j'ai fait, mais je ne suis pas trop sûr de mes résultats, et de la façon à rédiger.

Exercice 1 :

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions.
On dispose de deux dés tétraédriques identiques : les quatre faces sont numérotées
A, B, C et D.
1. On lance les deux dés simultanément et on note la lettre de la face sur laquelle repose chacun des dés.
Déterminer la probabilité des évènements suivants :
– E0 : « ne pas obtenir la lettre A »,
– E1 : « obtenir une fois la lettre A »,
– E2 : « obtenir deux fois la lettre A ».
2. On organise un jeu de la façon suivante :
– Le joueur lance les deux dés simultanément.
– Si les deux dés reposent sur les faces « A », le jeu s’arrête.
– Si un seul dé repose sur la face « A », le joueur relance l’autre dé et le jeu s’arrête.
– Si aucun dé ne repose sur la face « A », le joueur relance les deux dés et le jeu s’arrête.
a. Faire un arbre de probabilitié en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
b. Le joueur gagne si, lorsque le jeu s’arrête, les deux dés reposent sur les faces « A ».
Montrer que, pour le joueur, la probabilité de gagner est de 49/256.
c. Pour participer, le joueur doit payer 5 euros. S’il gagne, on lui donne 10 euros. Si, lorsque le jeu s’arrête, un seul dé repose sur la face « A », il est remboursé. Sinon, il perd sa mise.
Le jeu est-il favorable au joueur ?



Exercice 2 :


Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte, écrite sous forme de fraction irréductible.
Dans une classe de terminale S, comprenant 39 élèves, on relève les voeux d’orientation suivants :
30 élèves veulent faire des études scientifiques dont 22 envisagent des études longues.
6 élèves souhaitent s’engager dans des études de droit dont 2 envisagent des études courtes.
3 élèves veulent faire des études d’arts (´études longues).
Toutes les filles veulent faire des études longues.
Il y’a autant de filles que de garçons qui souhaitent faire des études scientifiques.
Il y’a autant de filles que de garçons qui souhaitent faire des études de droit.
Un seul garçon envisage de s’engager dans des études d’arts.
1.a. Faire un tableau à l’aide des informations données en hypothèse.
b. On interroge un élève pris au hasard dans la classe.
2.a. Donner la probabilité P(F) que l’´eleve interrogé soit une fille et la probabilité P(G) que ce soit un garçon.
b. Sachant que l’´eleve interrogé veut faire des études longues, quelle est la probabilité P1 que ce soit une fille qui envisage de faire des études scientifiques ?
c. Sachant que l’´eleve interrogé n’envisage pas de faire des études scientifiques, quelle est la probabilité P2 qu’il se destine à des études d’arts ou envisage des étudescourtes ?
3. Deux filles et un garçon sortent de la classe.
a. Quelle est la probabilité Q1 que ce soit trois élèves qui envisagent des études scientifiques ?
b. Quelle est la probabilité Q2 qu’il y’ait au moins un élève envisageant des études
d’arts ?

Exercice 3 :
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On imagine n sacs de jetons S1, S2, ., Sn . Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante :
- Première étape : on tire au hasard un jeton de S1 ;
- Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on tire, au hasard, un jeton de S2 ;
- Troisième étape : après avoir placer dans S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard, un jeton de S3. et ainsi de suite.
Pour tout entier naturel k tel que 1< k < n, On note Ek l'événement "le jeton tiré de Sk est blanc" et Ek* qu'il ne se réalise pas.
1.
a) Déterminez la probabilité de E1, notée P(E1), et les probabilités conditionnelles:
P(E2/E1)et P(E2/E1*)
Déduisez-en la probabilité de E2, notée P(E2).
b) Pour tout entier k tel que 1 < k < n, la probabilité de Ek est notée pk.
Justifiez la relation de récurrence suivante :
P(k+1)= 1/3 Pk + 1/3

2.Etude d'une suite (uk).
On note (uk) la suite définie par u1= 1/3 et pour tout entier k >(ou égal) à 1,
u(k+1)= 1/3 uk + 1/3
a) On considère la suite (vk) définie par, pour tout élément k de N*, vk = uk - 0,5.
Démontrez que la suite (vk) est une suite géométrique.
b) Déduisez-en l'expression de uk en fonction de k.
Montrez que la suite (uk) est convergente et précisez sa limite.
3: Dans cette question, on suppose que n = 10. Déterminez pour quelles valeur de k on a:
0,4999 < pk < 0,5

Où j'en suis dans mon devoir

J'ai pratiquement trouvé toutes les réponses, que je viendrais dans quelques jours, poster ici, afin que vous puisiez me corriger. Merci d'avance.