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Sujet du devoir
Bonjour :)J'ai presque fini mon DM et je bloque sur cet exercice, il y aurait t'il quelqu'un pour m'aider ? MERCI
Madame Granet achète par correspondance à une société qui lui fait un crédit de 6 000 euros.
Le taux mensuel de ce crédit est de 1,5 %.
Chaque mois, Madame Granet doit rembourser une somme fixe de 300 euros. Cette somme comprend
d'une part les intérêts dus pendant le mois et d‘autre part une partie du remboursement du crédit.
Le but de l'exercice est de déterminer le nombre m de mois nécessaires pour rembourser le
prêt.
1 Calculer les intérêts dus le premier mois et en déduire le montant du crédit qu'il reste à rembourser à Madame Granet après son premier versement de 300 euros.
2 On note C0 = 6 000 le montant initial du crédit, exprimé en euros, et cn le montant du crédit qu'il reste à rembourser à l'issue du n-ième mois. Montrer que Cn +1 = 1,015cn − 300. Calculer c1 et vérifier le résultat de la première question.
3 À l'aide d'un tableur, calculer les 100 premiers termes de la suite (cn ) puis conjecturer la durée du
remboursement.Le rôle des questions suivantes est de permettre de valider ou pas la conjecture précédente.
4 Soit (vn ) la suite définie pour tout entier naturel n par vn =cn − 20 000.
a) Montrer que (vn ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
b) Exprimer vn en fonction de n et en déduire cn en fonction de n.
5 a) Déterminer le sens de variation de la suite (cn ).
b) À partir de combien de mois Madame Granet aura-t-elle remboursé la moitié de son crédit ? j ai fais
c) Déterminer le plus petit entier n tel que cn < 300. On appelle n0 cet entier. Calculer alors le montant du (n0 +1)-ième remboursement. Quelle a été la durée m, exprimée en mois, du remboursement? Quel est le montant total du remboursement ? j ai fais
d) Que peut-on dire de la conjecture formulée à la question 3 ? j ai fais
Où j'en suis dans mon devoir
5. b) Madame Granet aura remboursé la moitié de son crédit à partir du 14ième mois.5. c) Le plus petit entier n tel que C_n<300 est 23 car C_23≈ 283.
n_0 = 23 et (n_0+1) = 24.
C_n24 = 1,015 × 283 - 300 ≈ - 13
La durée du remboursement à durée 24 mois.
Le montant total du remboursement est de 300 × 24 soit 7 200€.
5. d) On peut dire que la conjecture de la question 3 est correcte
3 commentaires pour ce devoir
c est dur,essaie la calculettes
5
bonjour
5b) on trouve n = env 13.04, soit le 14ième mois.--- ok
5c) Le plus petit entier n tel que Cn<300 est 23 --- ok
car C23 =env 282.72
n0 = 23 et (n0+1) = 24
....C24 = 1,015 × 283 - 300 ≈ - 13 pas d'accord
La durée du remboursement à durée 24 mois.
C23 = 20000 - 14000*1.015^23 = 282.72
le 24ième mois, le remboursement sera de 282.72 au lieu des 300 habituels
....Le montant total du remboursement est de 300*24=7200
pas d'accord non plus : recalcule en tenant compte de la valeur du dernier remboursement.
5b) on trouve n = env 13.04, soit le 14ième mois.--- ok
5c) Le plus petit entier n tel que Cn<300 est 23 --- ok
car C23 =env 282.72
n0 = 23 et (n0+1) = 24
....C24 = 1,015 × 283 - 300 ≈ - 13 pas d'accord
La durée du remboursement à durée 24 mois.
C23 = 20000 - 14000*1.015^23 = 282.72
le 24ième mois, le remboursement sera de 282.72 au lieu des 300 habituels
....Le montant total du remboursement est de 300*24=7200
pas d'accord non plus : recalcule en tenant compte de la valeur du dernier remboursement.
Calculer les intérêts dus le premier mois et en déduire le montant du crédit qu'il reste à rembourser à Madame Granet après son premier versement de 300 euros.
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Intérêt du premier mois =6000*0.015=90 €
Montant du crédit à rembourser 6000-90=5910 €
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2 On note C0 = 6 000 le montant initial du crédit, exprimé en euros, et cn le montant du crédit qu'il reste à rembourser à l'issue du n-ième mois. Montrer que Cn +1 = 1,015cn − 300. Calculer c1 et vérifier le résultat de la première question.
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au rang n+1 le crédit qu'il reste à rembourser vaut cn+1=cn- (300-cn*0,015)=1.015*cn-300 ou 300-cn*0,015 représente le montant du capital remboursé au n ème mois
Le rôle des questions suivantes est de permettre de valider ou pas la conjecture précédente.
4 Soit (vn ) la suite définie pour tout entier naturel n par vn =cn − 20 000.
a) Montrer que (vn ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
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vn+1=cn+1-20000 =1.015*cn-300-20000=1.015*(cn-20000)=1.045*vn ==> vn+1/vn=1.015 et vn est une suite géométrique de raison 1.015 et de premier terme v0=c0-20000=6000-20000=140000
------------------
b) Exprimer vn en fonction de n et en déduire cn en fonction de n.
vn=v0*1.015^n=14000*1.015^n =cn-20000 ==>cn=20000-14000*1.015^n
----------------
5 a) Déterminer le sens de variation de la suite (cn ).
cn+1-cn=20000-14000*1.015^n+1-(20000-14000*1.015^n)=14000*1.015^(n)-14000*1.015^(n+1)=-0.015*14000*1.015^n <0 donc suite décroissante
b) À partir de combien de mois Madame Granet aura-t-elle remboursé la moitié de son crédit ?
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lorsque cn=3000=20000-14000*1.015^n ==> -17000=-14000*1.015^n ==> ln(17/14)=n*ln(1.015) ==> n=ln(17/14)/ln(1.015)=13.04 soit 14 mois
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c) Déterminer le plus petit entier n tel que cn < 300. On appelle n0 cet entier. Calculer alors le montant du (n0 +1)-ième remboursement. Quelle a été la durée m, exprimée en mois, du remboursement? Quel est le montant total du remboursement ?
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cn=300<20000-14000*1.015^n ==> -19700<14000*1.015^n ==> ln(197/140) n>ln(197/140)/ln(1.015)=22.94 soit 23 mois
Montant du 23 remboursement =20000-14000*1.015^23=282.72 €
Montant total du remboursement =22*300+282.72=6882.72 €
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Intérêt du premier mois =6000*0.015=90 €
Montant du crédit à rembourser 6000-90=5910 €
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2 On note C0 = 6 000 le montant initial du crédit, exprimé en euros, et cn le montant du crédit qu'il reste à rembourser à l'issue du n-ième mois. Montrer que Cn +1 = 1,015cn − 300. Calculer c1 et vérifier le résultat de la première question.
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au rang n+1 le crédit qu'il reste à rembourser vaut cn+1=cn- (300-cn*0,015)=1.015*cn-300 ou 300-cn*0,015 représente le montant du capital remboursé au n ème mois
Le rôle des questions suivantes est de permettre de valider ou pas la conjecture précédente.
4 Soit (vn ) la suite définie pour tout entier naturel n par vn =cn − 20 000.
a) Montrer que (vn ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
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vn+1=cn+1-20000 =1.015*cn-300-20000=1.015*(cn-20000)=1.045*vn ==> vn+1/vn=1.015 et vn est une suite géométrique de raison 1.015 et de premier terme v0=c0-20000=6000-20000=140000
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b) Exprimer vn en fonction de n et en déduire cn en fonction de n.
vn=v0*1.015^n=14000*1.015^n =cn-20000 ==>cn=20000-14000*1.015^n
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5 a) Déterminer le sens de variation de la suite (cn ).
cn+1-cn=20000-14000*1.015^n+1-(20000-14000*1.015^n)=14000*1.015^(n)-14000*1.015^(n+1)=-0.015*14000*1.015^n <0 donc suite décroissante
b) À partir de combien de mois Madame Granet aura-t-elle remboursé la moitié de son crédit ?
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lorsque cn=3000=20000-14000*1.015^n ==> -17000=-14000*1.015^n ==> ln(17/14)=n*ln(1.015) ==> n=ln(17/14)/ln(1.015)=13.04 soit 14 mois
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c) Déterminer le plus petit entier n tel que cn < 300. On appelle n0 cet entier. Calculer alors le montant du (n0 +1)-ième remboursement. Quelle a été la durée m, exprimée en mois, du remboursement? Quel est le montant total du remboursement ?
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cn=300<20000-14000*1.015^n ==> -19700<14000*1.015^n ==> ln(197/140)
Montant du 23 remboursement =20000-14000*1.015^23=282.72 €
Montant total du remboursement =22*300+282.72=6882.72 €
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