Les Suites (Problèmes type BAC)

Publié le 17 janv. 2010 il y a 9A par Luciedu57 - Fin › 19 janv. 2010 dans 9A
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Sujet du devoir

Un club de sport propose deux types d'abonnement non permutables.
- Formule A : une cotisation annuelle de 50€ à laquelle s'ajoute la première année seulement un droit d'entrée de 1.000€.
- Formule B : une cotisation annuelle initiale de 100€ qui augmente de 10% par an. Dès la seconde année, pour fidèliser la clientèle, on efectue une réduction de 5€ sur la cotisation annuelle. Si C.n est le montant exprimé en euros de la cotisation annuelle la n.ème année on a C.1 = 100 et pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a C.n+1 = 1,1 C.n - 5

1) Déterminez la somme T.n versée (en euros) au club de sport pour un membre avec la formule A pendant n années.
2) Soit (D.n) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par D.n = C.n + (symbole que je ne connais pas, qui ressemble à l'infini).
Déterminez le réel (symbole) pour que la suite (D.n) soit une suite géométrique de raison 1,1 et préciser le terme initial de la suite.
3) On suppose dans cette question que (symbole) = -50.
a) Exprimer D.n puis C.n en fonction de n .
b) Soit S.n la somme versée (en euros) au club pour un membre avec la formule B pendant n années. Montrer que S.n = 500 [(1,1)^n -1] + 50.n
c) Quel nombre minimum d'années un membre doit-il cotiser pour que la formule A soit plus avantageuse que la formule B ?

Où j'en suis dans mon devoir

Je ne comprend vraiment pas grand chose à cet exercice type BAC :s Pourtant, j'essaye de rester attentif en cours sur ce chapitre des limites ... mais j'y arrive pas vraiment :( De l'aide serai la bienvenue. Merci d'avance.



1 commentaire pour ce devoir


Ashe
Ashe
Posté le 18 janv. 2010
Bonjour,

comme le titre l'indique, cet exercice traite des suites, donc il s'agit de voir comment évolue l'abonnement une année après l'autre suivant la formule adoptée (A ou B). Pour se faire une idée, il est souvent intéressant de regarder ce qu'il se passe pour les premières années (les 4 premières par exemple) afin de comprendre le mécanisme.

1) On regarde d'abord la formule A)
La première année le future membre doit payer les 1000euros de droit d'entrée + les 50 euros annuels de cotisation.
On a donc T(1)=1050
La deuxième année le cotisant paie seulement 50 euros donc T(2)=T(1)+50=2000
Les années suivantes sont équivalentes donc on va avoir un ajout de 50 euros à chaque année.

On voit que T(1)=1000+50*1, T(2)=1000+50+50=1000+50*2 et plus généralement T(n)=1000+50*n

2)D(n)=C(n)+ω
par définition, une suite géométrique U(n) est une suite telle que U(n+1)=U(n).q où q s'appelle la raison de la suite.

Dans notre cas, on veut que D soit géométrique avec q=1,1 il faut donc que l'on ait D(n+1)=1,1*D(n)
On calcule donc D(n+1)=C.(n+1)+ω d'après la formule fournie par l'énoncé.
D(n+1)=1,1*C(n)-5+ω en remplaçant C(n+1) par sa valeur
On remarque donc que D(n+1)=1,1*(C(n)+ω)-5-0,1ω=1,1*D(n)-5-0,1ω

Pour que la suite soit géométrique, il faut donc que -5-0,1ω=0 soit ω=-50

Le terme initial de la suite est alors donné par D(1)=C(1)-50=50

3) a)On vient de montrer que D était une suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme 50 si ω=-50 donc D(n)=50*1,1^(n-1)
et donc D(n)=C(n)-50 donc C(n)=50+50*1,1^(n-1)
b) la suite est plus ou moins du cours,

en espérant avoir pu t'aider

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