Nombres complexes et trigo !!

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Publié le 11 févr. 2019 il y a 5A par Anonyme - Fin › 17 févr. 2019 dans 5A

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Sujet du devoir

Bonjour, j'ai un exo de nombres complexes + trigo et je bloque dessus depuis une bonne semaine, pourriez-vous m'aider ?

1. 1. On pose $z_{0}= cos\frac{2\pi }{5}+isin\frac{2\pi }{5}$ .
a. On pose $\alpha = z_{0}+ z_{0}^{4}$ . Montrer que $1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4} = 0$ et en déduire que $\alpha$ est solution de l'équation (1) : $X^{2}+X-1 = 0$ .
b. Déterminer $\alpha$ en fonction de $cos\frac{2\pi }{5}$ .
c. Résoudre l'équation (1) et en déduire la valeur de $cos\frac{2\pi }{5}$ .

2. On appelle A0, A1, A2, A3 et A4 les points d'affixes respectives $1, z_{0}, z_{0}^{2}, z_{0}^{3}, z_{0}^{4}$ , dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O; $\vec{u}, \vec{v}$ ).
a. Soit H le point d'intersection de la droite (A1A4) avec l'axe des abscisses. Montrer que l'abscisse de H est égale à $cos\frac{2\pi }{5}$ .
b. Soit C le cercle de centre Ω d'affixe 1/2 passant par le point B d'affixe i. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en M et N (on appellera M le point d'abscisse positive). Montrer que l'abscisse xM de M est égale à a et que H est le milieu de [OM].
En déduire une construction simple d'un pentagone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A0.