Nombres complexes et trigo !!

Publié le 11 févr. 2019 il y a 2 mois par Yoyo - Fin › 17 févr. 2019 dans 2 mois
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Sujet du devoir

Bonjour, j'ai un exo de nombres complexes + trigo et je bloque dessus depuis une bonne semaine, pourriez-vous m'aider ? 

1. 1. On pose z_{0}= cos\frac{2\pi }{5}+isin\frac{2\pi }{5}
a. On pose \alpha = z_{0}+ z_{0}^{4}. Montrer que 1+ z_{0}+z_{0}^{2}+z_{0}^{3}+z_{0}^{4} = 0 et en déduire que \alpha est solution de l'équation (1) : X^{2}+X-1 = 0
b. Déterminer \alpha en fonction de cos\frac{2\pi }{5}
c. Résoudre l'équation (1) et en déduire la valeur de cos\frac{2\pi }{5}

2. On appelle A0, A1, A2, A3 et A4 les points d'affixes respectives 1, z_{0}, z_{0}^{2}, z_{0}^{3}, z_{0}^{4}, dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O; \vec{u}, \vec{v}). 
a. Soit H le point d'intersection de la droite (A1A4) avec l'axe des abscisses. Montrer que l'abscisse de H est égale à cos\frac{2\pi }{5}
b.  Soit C le cercle de centre Ω d'affixe 1/2 passant par le point B d'affixe i. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en M et N (on appellera M le point d'abscisse positive). Montrer que l'abscisse xM de M est égale à a et que H est le milieu de [OM]. 
En déduire une construction simple d'un pentagone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A0. 

Où j'en suis dans mon devoir

Pour le 1,a , on a exp(i((2pi)/5) = z0.

Après je vois pas trop comment faire !

 




1 commentaire pour ce devoir


p.pouletaut
p.pouletaut
Posté le 13 févr. 2019

Pour le 1a, on a :

1+z0+z0^2+z0^3+z0^4 = (1 - z0^5) / (1 - z0)  (formule sur les suites géométriques)

D'où : 1+z0+z0^2+z0^3+z0^4 = 0 car z0^5 = exp(i 2pi) = 1

D'autre part :
alpha = z0 + z0^4
alpha² = z0^2 + 2 x z0^5 + z0^8 = z0^2 + 2 + z0^3
alpha + alpha² = z0+z0^2+z0^3+z0^4 + 2
                      = -1 + 2
                      = 1   


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