Problème issu des IMO de 1988

Publié le 8 mai 2018 il y a 5A par Anonyme - Fin › 31 mai 2018 dans 5A
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Sujet du devoir

Soit f l'application de N* dans N* vérifiant:

f(1)=1

f(3)=3

Pour tout n>=1

f(2n)=f(n)

f(4n+1)=2f(2n+1) - f(n)

f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)

Déterminer le nombre d'entiers n, 1<=n<=1988 vérifiant (A):   f(n)=n  

Où j'en suis dans mon devoir

Quelques calculs (en espérant que je n'ai pas fait d'erreurs):

f(5)=5

f(7)=7

f(9)=9

f(11)=13

f(13)=11

f(15)=15

f(17)=17

f(19)=25

f(21)=21

f(23)=29

Je conjecture qu'aucun pair ne vérifie la relation (je ne parviens pas du tout à la démontrer, je ne sais donc pas si elle est juste) et qu'à partir du rang 9 (à partir de f(9)), un et un seul des deux nombres f(4n+1) et f(4n+3) vérifie (A). Au vu des calculs, il me semble qu'on ne peut pas prévoir lequel. J'ai mq il est impossible qu'il y en ait deux mais je n'arrive pas à mq il y en a un, ce qui fait que je suis bloquée avec deux conjectures incertaines.




2 commentaires pour ce devoir


Anonyme
Posté le 8 mai 2018

Bonjour,

 

Quelques remarques :

 

Déjà il est clair que f(n) est impair pour tout n.

On remarque aussi que pour n=(2^k)-1 ou n=(2^k)+1, f(n) = n

 

Il semble que pour n impair, si n s'écrit 1abc...xyz1 en binaire, f(n) = 1zyx...cba1

 

code : https://repl.it/repls/InfamousSaltyCase

 

bonne chance.

 

 

Anonyme
Posté le 8 mai 2018

Merci bien je vais continuer de chercher


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