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Sujet du devoir
Soit f l'application de N* dans N* vérifiant:
f(1)=1
f(3)=3
Pour tout n>=1
f(2n)=f(n)
f(4n+1)=2f(2n+1) - f(n)
f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)
Déterminer le nombre d'entiers n, 1<=n<=1988 vérifiant (A): f(n)=n
Où j'en suis dans mon devoir
Quelques calculs (en espérant que je n'ai pas fait d'erreurs):
f(5)=5
f(7)=7
f(9)=9
f(11)=13
f(13)=11
f(15)=15
f(17)=17
f(19)=25
f(21)=21
f(23)=29
Je conjecture qu'aucun pair ne vérifie la relation (je ne parviens pas du tout à la démontrer, je ne sais donc pas si elle est juste) et qu'à partir du rang 9 (à partir de f(9)), un et un seul des deux nombres f(4n+1) et f(4n+3) vérifie (A). Au vu des calculs, il me semble qu'on ne peut pas prévoir lequel. J'ai mq il est impossible qu'il y en ait deux mais je n'arrive pas à mq il y en a un, ce qui fait que je suis bloquée avec deux conjectures incertaines.
2 commentaires pour ce devoir
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Bonjour,
Quelques remarques :
Déjà il est clair que f(n) est impair pour tout n.
On remarque aussi que pour n=(2^k)-1 ou n=(2^k)+1, f(n) = n
Il semble que pour n impair, si n s'écrit 1abc...xyz1 en binaire, f(n) = 1zyx...cba1
code : https://repl.it/repls/InfamousSaltyCase
bonne chance.
Merci bien je vais continuer de chercher