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Sujet du devoir
f est la fonction définie sur ]-1;+infini[ par f(x)= 1/(x+1)
la fonction f est dérivable n fois et pour tout x de ]-1;+infini[,
f^(n) (x)= ((-1)^n*n!)/((x+1)^n+1)
- Déterminer suivant les valeurs de n, les variations de la fonction f^(n) sur ]-1;+infini[.
Où j'en suis dans mon devoir
J'ai remarqué que lorsqu'on dérive plusieures fois f(x) on obtient une dérivée avec un signe alternativement négatif et positif (car il y a (-1)^n) donc j'en est déduis que sur ]-1;+infini[, f^(n) (x) etait alternativement croissante et decroissante (conjecture graphique).
Je ne sais pas si ce que j'avance est exacte. Si, oui, il ne s'agit que d'une conjecture. Pouvez m'aider à le prouver par le calcul, je n'y parviens pas. Merci d'avance pour votre aide.
2 commentaires pour ce devoir
Ils ont besoin d'aide !
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Il faut préciser votre réponse.
Si n = 2p (pair), (-1)^n = 1. Donc la dérivée n-ième est positive ; la fonction dérivée n-1-ième est croissante.
Si n = 2p+1 (impair), (-1)^n = -1. Donc la n-ième dérivée est négative ; la fonction dérivée n-1-ième est décroissante.
En résumé :
la dérivée n-ième est croissante si n est impair et décroissante si n est pair.
Merci.