Représentation paramétrique d'une droite et plan

Publié le 9 avr. 2020 il y a 3A par golden.moustache31 - Fin › 12 avr. 2020 dans 3A
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Sujet du devoir

1) Démontrer que les trois points A(−1; 2; 5) ; B(1; 0; −2) et C(0; 2; −3) définissent un plan. 2) Déterminer une représentation paramétrique de ce plan

3) a) Prouver que les plans (ABC) et (O;i;j) ne sont pas parallèles.

    b) En déduire une représentation paramétrique de la droite ∆ intersection de ces deux        plans. 

Où j'en suis dans mon devoir

1) j'ai montré que les vecteurs AB et AC n'étaient pas colinéaires, et donc définissent un plan

2) c'est bon aussi 

3) Pour les vecteurs du plan (O;i;j) j'ai i(1;0) et j(0;1)

Mais j'ai essayé de résoudre le système équation ABC= équation OIJ, mais je n'arrive pas à la résoudre et là je suis bloquée... 

Merci de votre aide ! 




1 commentaire pour ce devoir


Abdel HAKIM
Abdel HAKIM
Posté le 9 avr. 2020

Bonjour Golden moustache,

 

Pour la question 3, il faut écrire i(1;0;0) et j (0;1;0)

Montrer que les plans ABC et P(O,i,j) ne sont pas parallèles équivaut à dire que leurs vecteurs normaux respectifs ne sont pas colinéaires.

Tu commences par déterminer les vecteurs normaux de chacun des plans.

Pour le plan P(O,i,j), c'est simple c'est le vecteur k(0;0;1)

 

En ce qui concerne le plan ABC, on choisit n le vecteur normal au plan.

on sait que si un vecteur u et normal à un vecteur v alors u.v=0 (u scalaire v est nul)

u(x,y,z)  v(x',y',z')

de plus on sait que u.v = xx'+yy'+zz'

 

si n est normal au plan alors

  • n est normal à AB
  • n est normal à AC

de là, tu en déduis que

  • n.AB=0
  • n.AC=0

si n(x,y,z)

tu remplaces les cordonnées des vecteurs et tu obtiens les équations

0x -2y-7z=0

1x+0y-8z=0

 

-2y-7z=0

x-8z=0

 

y=7z/2

x=8z

 

tu choisis une valeur de z ou autre (c'est plus facile de choisir z=1)

et tu en déduis

x=8

y=7/2

z=1

n(8;7/2;1)

 

Maintenant si tu vérifies si k et n sont colinéaires, tu peux en déduire que les 2 plans ne sont pas parallèles.

 

 

Pour la question 4, tu détermines les équations des plans ABC et P(O;i;j)

C'est simple, il suffit de prendre les coefficients des vecteurs normaux

pour ABC      : 8x + 7/2 y + 1z =0

pour P(O;i;j) : 0x +    0 y + 1z =0

 

On sait aussi que 2 plans se coupent en une droite.

Par conséquent, on va chercher l'équation d'une droite qui vérifie les 2 équations des plans.

 

Rappel : la représentation paramétrique d'une droite s'écrit :

  • point A(xA, yA, zA) 
  • t une constante réelle
  • (a,b,c) un vecteur directeur de la droite

x=xA + at

y=yA + bt

z=zA + ct

 

Pour se faciliter la tache, on dit que x=t et on détermine y et z en fonction de t

 

  • x=t
  • 8t + 7/2 y + 1z =0
  • 0t +    0 y  +1z =0
  • x=t
  • 8t + 7/2 y + 1z =0
  • z =0
  • x=t
  • 8t + 7/2 y =0
  • z =0

avec t appartenant à R

  • x =t
  • y = -16t/7
  • z =0

Tu viens là de déterminer la représentation paramétrique de la droite.

 

Merci de me confirmer que tu as compris.

Sinon n'hésites pas à poser des questions.

 

 

 

 

 


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