Suite convergente et exponentielle

Sujet du devoir

Bonjour, voici un petit exercice que je n’arrive pas à résoudre, merci de votre aide :)

Soit f la fonction définie sur R telle que f(x)=e^(2x-2) avec f’(x)=2f(x) et f(0)=1/e².

Soit g la fonction définie sur [0;0,5] par g(x)=e^(2x-2)-x.

L’équation e^(2x-2)=x n’admet qu’une seule solution sur l’intervalle [0;0,5].

Soit u_n la suite définie par u0=0 et u_(n+1)=f(u_n) pour tout entier naturel n.

La suite est croissante et bornée.

Justifier que la suite converge et que sa limite est solution de l’équation e^(2x-2)=x sur l’intervalle [0;0,5]. Donner une valeur approchée à 10^-4 près de u8.

Merci de votre aide :)

Où j'en suis dans mon devoir

La suite est croissante et bornée donc elle est convergente. 

C’est le reste de la question que je n’arrive pas à faire (u8 je peux le faire avec ma calculatrice).