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Sujet du devoir
Bonjour, je suis complètement bloquée avec un exercice de mon devoir.. Si quelqu'un pouvait m'aider s'il-vous-plait.
Voici l'énoncé :
On admet l'encadrement (E) : "pour tout réel x appartient à [0 ; pi], x - (x^3/6) inférieur ou égale à sin x inférieur ou égale à x ». On pose pour tout n appartenant à N*, un = sin(1/n^2) + sin(2/n^2)+…+sin(n/n^2) et vn = 1/n^2 + 2/n^2 + … + n/n^2 . L'objectif est d'étudier la convergence de la suite (Un).
1) Déduire de l'encadrement (E) que, pour tout n appartenant à N* , un inférieur ou égale à vn
2) A) Justifier que pour tout n appartenant à N*, 1^3+2^3+…+n^3 inférieur ou egale à n^4
B) En déduire, à l'aide de l'encadrement (E), que, pour tout n appartenant à N* , vn -(1/6n^2) inférieur ou egale à un.
3) Montrer que lim(n -> +inifini) vn = 1/2. En déduire que la suite (un) est convergente vers un réel que l'on précisera.
Merci pour l'aide apportée en avance car je suis vraiment perdue avec cet exercice.
1 commentaire pour ce devoir
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1)on sait que pour tout réel x € [0 ; pi]
x -(x^3/6) <= sin x <= x
vérifie que 1/n² € [0 ; pi]
alors sin (1/n²) <= 1/n²
2)A. la fonction cube est une fonction croissante
k < n ==> k^3 < n^3
1^3+2^3+…+n^3 <n^3 +n^3+...+n^3