Suite Numerique

Publié le 9 févr. 2010 il y a 9A par Rezlenn - Fin › 27 févr. 2010 dans 9A
5

Sujet du devoir

Bonjour, j'ai un DM de maths pour la rentrée sur les suites numeriques, or j'ai du mal a comprendre l'ennoncé... Si vous pouvier me donner les pistes a suivre pour chacunes des questions ca serait vraiment genial

I] Soit la suite (Un) definie par: Un = (Integrale de n a n+1) (1/x^2)dx , pour n>1

1) Representer la fonction f: f(x)= 1/x^2 sur l'intervaille ]0;+infini[, et interpreter Un
2) A- Montrer que pour tout n : 1/(n+1)^2 < Un < 1/n^2
et que: 1/4 + 1/9 + ... + 1/(n+1)^2 < (Integrale de 1 a n+1) 1/x^2 < 1 + 1/4 + ... + 1/n^2
B- En deduire que: 1/4 + 1/9 + ... + 1/(n+1)^2 < 1 - 1/(n+1) < 1 + 1/4 + ... + 1/n^2

3) Montrer que la suite (Sn) : Sn = 1+ 1/4 + 1/9 + ... + 1/n^2 est croissante et qu'elle est majorée par 2

II] Soit la suite (In) n>1 definie par In= (integrale de e a 1) ((lnx)^n/ x^2)dx
1) Calculer I1
2) Montrer que pour tout x de [1;e]: (lnx)^(n+1) - (lnx)^n < 0 et que la suite (In) est decroissante et majorée par 1 et minorée par 0
3) Montrer que pour tout n (n>1) I(n+1) = (-1/e) + (n+1)In
Calculer I2, I3, I4
4) A- En utilisant le resultat du 2) Montrer que pour tout n:
0 < (n+1)In < 1 + 1/e
B- En deduire lim In en +Infini, puis Lim(n+1)In et lim nIn en + infini


Merci de toute aide que vous m'apporterez

Où j'en suis dans mon devoir

Où j'en suis :

I] 1) Bah la on fait la courbe, mais je ne comprends pas en quoi et comment interpreter Un
2) a- bah si n < n+1
alors n^2 < (n+1)^2
donc 1/(n+1)^2 < un < 1/n^2
et la 2e partie je ne comprends pas
b- La non plus
3) La non plus fin je ne comprends pas ce qu'il faut faire pour le demontrer

Quand a la suite, j'attends vos pistes =)



8 commentaires pour ce devoir


Lisebou
Lisebou
Posté le 9 févr. 2010
I)
1) graphiquement Un est l'aire situé sous la courbe 1/x^2 entre y=n et y=n+1
2) tu a démontrer 1/(n+1)^2 < Un < 1/n^2
1/(n+1)^2 < (Integrale de n a n+1) (1/x^2)dx < 1/n^2
(Integrale de 1 a n+1) (1/x^2)dx = (Integrale de 1 a 2) (1/x^2)dx + (Integrale de 2 a 3) (1/x^2)dx +...+ (Integrale de n a n+1) (1/x^2)dx
Donc :
1/(1+1)^2+1/(2+1)^2+...+1/(n+1)^2 < (Integrale de 1 a n+1) (1/x^2)dx < 1/1^2+ 1/2^2+...+1/n^2
donc:
1/4 + 1/9 + ... + 1/(n+1)^2 < (Integrale de 1 a n+1) 1/x^2 < 1 + 1/4 + ... + 1/n^2 CQFD
B (Integrale de 1 a n+1) 1/x^2= [-1/x^2](de 1 à n+1)
= -1/(n+1)-(-1/1)
= 1 - 1/(n+1)
donc
1/4 + 1/9 + ... + 1/(n+1)^2 < 1 - 1/(n+1) < 1 + 1/4 + ... + 1/n^2
CQFD
Lisebou
Lisebou
Posté le 9 févr. 2010
3) Il faut faire S(n+1)-S(n)= 1+ 1/4 + 1/9 + ... + 1/n^2+ 1/(n+1)^2 - 1+ 1/4 + 1/9 + ... + 1/n^2= 1/(n+1)^2
1/(n+1)^2>0 donc S(n+1)-S(n)>0 donc S(n+1)>Sn donc Sn strictement croissante
Rezlenn
Rezlenn
Posté le 10 févr. 2010
Oh merci =) et pour le II?
Rezlenn
Rezlenn
Posté le 20 févr. 2010
Je me suis tromper pour le II
C'est In= (Integrale de 1 a e) de ((lnx)^n)/x^2 dx

donc que faire j'y arrive pas du tout et c'est pour lundi =(
Rezlenn
Rezlenn
Posté le 21 févr. 2010
je comprends vraiment pas, les integrale c'est tout nouveau par moi, mais melanger au ln et e c;est la galere =(
Rezlenn
Rezlenn
Posté le 21 févr. 2010
mais la suite est censr etre decroissante!
Rezlenn
Rezlenn
Posté le 21 févr. 2010
es tu sur que I1=1 ?
Rezlenn
Rezlenn
Posté le 22 févr. 2010
non mais I1 = 1 - (2/e)
.........
donc pour la suite?

Il faut être inscrit pour aider

Crée un compte gratuit pour aider

Je m'inscrisOU

J'ai déjà un compte

Je me connecte