Suites (récurrentes)

Sujet du devoir

Je pense que c'est un exercice pour les vrais matheux. J'espère que j'obtiendrai de l'aide de votre part ;)

Sujet :

Le but de cet exercice est d'étudier la suite u définie par u.0 = 0 et, pour tout entier naturel n, u.n+1 = f(u.n), où f est la fonction définie sur [0 ; +l'infini[ par f(x) = 2 + 'racine carré' de x.

1) Etude de f, conjectures sur u

a) Calculer f'(x), pour x > 0.
b) Obtenir le tableau de variation de f.
c) Dans un repère orthonormé d'unité 4cm, produire une ébauche de la courbe représentative de f à partir de ses points d'abscisses 0 ; 0,16 ; 0,25 ; 1 ; 2,25 ; 3,24 ; 4 ; 5,29 ; 6,25.
d) Sur le tracé précédent, construire la droite d'équation y = x , et à l'aide d'une construction grahique, faire apparaitre sur l'axe des abscisses les termes de u.0 et u.5 .
e) u parait-elle monotone ? convergente ? avec quelle limite éventuelle ?

2) Etude précise de u

a) Vérifier que u.1 > u.0
b)Prouver par récurrence que pour tout entier naturel n, u.n+1 > u.n > 0
c) Prouver pa récurrence que pour tout entier naturel n, u.n < 4
d) Qu'a-t-on prouvé en b) ? et en c) ?
e) On admet que la suite u converge. Soit L sa limite, déterminez L.
f) Déterminez à l'aide de la calculatrice le plus petit entier n tel que 4 > u.n > 3,999.

Où j'en suis dans mon devoir

1) a) f'(x) = 1/(2 r.carré x)
b) Pour le tableau de variation, je pense qu'il faut que je place l'interval, donc de 0 à +l'infini, mais je ne sais pas quel chiffre mettre dans ce tableau :/
c) Je ne comprend pas "ébauche de la courbe représentative".
d) Si la question c) n'est pas faite, difficile de tracer la droite.
e) Idem pour cette question :'(

2) a) u.o = 0
u.1 = f(u.0)
Donc il faudrai calculer la fonction de u.o pour trouver u.1 ? :s
b) - c) Je ne comprend pas la méthode par réccurence. Je sais qu'il faut montrer que la formule est vraie au premier rang, et de montrer que pour un entier quelconque n, si la formule est vraie pour n, alors elle est vraie aussi pour n+1 ... Mais je ne sais pas comment l'appliquer :(
d) /
e) Si la suite u converge, cela signifie que les termes u.n de la suite u tendent lorsque n augmente. Je pense qu'on peut prouver la limites avec les règles opératoires (Si u.n = f(n) et que lim f(x) = L quand x -> +l'infini, alors lim u.n = L quand n -> +l'infini.)
f) Je ne sais pas comment le déterminez avec la calculatrice :(