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Sujet du devoir
Un récipient a la forme d’un prisme droit dont la base
est un trapèze isocèle .
Toutes les dimensions de ce prisme sont fixes, sauf la longueur
. On donne et .
On cherche la dimension à donner à la grande base du
trapèze pour que le volume du récipient soit maximal.
On appelle le projeté orthogonal de sur . On note
la longueur et le volume du récipient
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1 commentaire pour ce devoir
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Bonjour ;
1) Vérifiez si x peut être négatif, si il peut être nul et si il peut être supérieur à 1 .
2) Tout d'abord, il faut enrichir la figure du trapèze ABCD par H' la projection orthogonale de B sur [CD] .
Le trapèze est isocèle donc H'C=x et HH'=1 .
Soit AT l'aire du trapèze, donc AT=1/2 AH(DC+AB).
Le triangle AHD est rectangle , donc on peut obtenir AH en fonction de x .
On a DC=DH+HH'+H'C= .................... en fonction de x .
Donc AT=.................... en fonction de x .
3) V(x)=BB'.AT=.................. en fonction de x .
On vérifie bien qu'on obtient V(x)=2(x+1)racine(1-x²) et que l'ensemble de définition est : ...... .
4) V'(x)=2(x+1)'racine(1-x²)+2(x+1)(racine(1-x²))'=................. .
On a (racine(1-x²))'=1/2 (1-x²)' 1/racine(1-x²) .
5) V admet un extremum pour xo qui vérifie V'(xo)=0 c-à-d xo racine de l'équation 2x²+x+1=0.
Vous êtes en Terminale, donc la méthode avec le discriminant vous permettra de trouver un extremum de V: la racine trouvée doit être positive.