chapitre concernant les variations

Sujet du devoir

Une entreprise fabrique des pizzas comptées par lots de 40 pizzas. On suppose qu'elle vend toute sa production. Les coûts de production sont, d'une part, les coûts fixes (amortissement du four, assurances, etc.), d'autre part, les coûts variables (ingrédients, salaires, etc.) qui dépendent du nombre q de lots fabriqués.On estime que la fonction de coût total de cette entreprise est donnée par la fonction suivante:

C(q)=1/2^3-2q²+5q+20

où q est le nombre de lots fabriqués et C(q) est exprimé en dizaines d'euros.

   1. Etudes du coût marginal et du coût total.

       Le coût marginal, noté Cm(q) est, pour une quantité q donnée, l'augmentation du coût occasionnée par la production d'une unité supplémentaire. Sa valeur exacte est donc Cm(q)=C(q+1)-C(q) mais dans la pratique on prend la valeur approchée Cm(q)=C'(q), la différence entre les deux valeurs étant négligeable.

   a. Etudier les variations de la fonction C sur l'intervalle [1;8].

   b. Etudier les variations de la fonction C' sur l'intervalle [1;8].

   c. Représenter graphiquement, dans un même repère, les fonctions C et C' (unités graphiques: 2cm pour un lot en abscisses et 1cm pour 5 dizaines d'euros en ordonnées).

   2.Etude du coût oyen.

   Le coût de production par unité produite est appelé coût moyen de production; on le note généralement CM(q). On a donc CM(q)=C(q)/q.

    a. Une fonction auxiliaire; Soit D(q) la fonction définie sur [1;8] par D(q)=q^3-2q²-20

     * Etudier les variations de D(q) puis dresser son tableau de variations.

     ** En déduire que l'équation D(q)=0 admet une unique solution q0 dans [1;8].

     *** A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de q0 au dixième .

   b. Expliquer pourquoi l'entreprise à tout intérêt à produire une quantité telle que CM(q) soit minimale.

   c. Montrer ue C'M(q)=q^"-2q²-20/q²

   d. Dresser le tableau de variation de CM.

   e. En déduire la production optimale de l'entreprise.

   f. * Représenter CM dans le même graphique que C et Cm 

      ** Déterminer l'abscisse du point d'intersection des courbes de CM et Cm. Que constate-t-on? (Cette propriété est toujours vraie)

   3. Concurrence parfaite. Dans cette partie on suppose que l'on est en situation de concurrence parfaite, c'est-à-dire que le prix de vente est imposé sur le marché. Le prix de vente du lot est calculé à partir du prix de vente unitaire fixé à 7.50€ la pizza.

   a. Calculer le prix de vente d'un lot de pizzas. Quelle est la recette R(q), en dizaines d'euro, pour q lots vendus?

   b. Sur le même graphique que précédemment, tracer la droite d'équation y=30.

   c. Tant que le coût marginal est inférieur au prix de vente, l'entreprise a intérêt à produire. Expliquer pourquoi.

   d. Le bénéfice produit par la vente de q lots de pizzas est B(q)=R(q)-C(q). Etudier les variations de B et en déduire la production qui assure le bénéfice maximal. Que représente cette production sur le graphique précédent?

Où j'en suis dans mon devoir

Donc voilà je sollicite votre aide, j'ai du mal à démarrer j'ai conscience de m'y prendre un peu tard, mais voilà je suis arrivée en cours de route pendant ce chapitre des variations et j'ai vraiment du mal. Merci de votre éventuelle aide, au moins pour m'aider à commencer!